संवृत रूप क्या है? — गणित

परिभाषा 21.13 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 21 — अवकल रूप और स्टोक्स की प्रमेय

$\omega \in \Omega^k(U)$ संवृत कहलाता है यदि $\dd\omega = 0$ हो, और यथार्थ यदि किसी $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ के लिए $\omega = \dd\eta$ हो ( $\omega$ का कोई आद्यंतर)। $\dd^2 = 0$ से यथार्थ $\Rightarrow$ संवृत; और विलोम $U$ के आकार के बारे में एक प्रश्न है।

उदाहरण

उदाहरण 21.14 (कोणीय रूप)

$U = \R^2 \setminus \{0\}$ पर

\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}

संवृत है (सीधा परिकलन: अभ्यास 21.4) पर यथार्थ नहीं: इकाई वृत्त के अनुदिश उसका समाकल $2\pi \neq 0$ है, जबकि संवृत वक्रों के अनुदिश यथार्थ रूपों के समाकल लुप्त हो जाते हैं (प्रतिज्ञप्ति 21.28)। स्थानीय रूप से ध्रुवीय कोण के किसी भी चिकने निर्धारण $\theta$ के लिए $\omega_\theta = \dd\theta$ — और यहीं से नाम तथा बाधा दोनों आते हैं: समूचे $U$ पर ऐसा कोई निर्धारण विद्यमान नहीं है। यही एक रूप घूर्णन संख्या (अनुभाग 21.6) को चलाता है और, उसके माध्यम से, अध्याय 17 की अवशेष प्रमेय को भी।

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