Wat is gesloten vorm? — Wiskunde

Definitie 21.13 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 21 — Differentiaalvormen en de stelling van Stokes

$\omega \in \Omega^k(U)$ heet gesloten als $\dd\omega = 0$ , en exact als $\omega = \dd\eta$ voor een $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ (een primitieve van $\omega$ ). Exact $\Rightarrow$ gesloten volgens $\dd^2 = 0$ ; de omkering is een vraag over de vorm van $U$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 21.14 (De hoekvorm)

Op $U = \R^2 \setminus \{0\}$ is

\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}

gesloten (rechtstreekse berekening: Oefening 21.4) maar niet exact: haar integraal langs de eenheidscirkel is $2\pi \neq 0$ , terwijl de integralen van exacte vormen langs gesloten krommen verdwijnen (Propositie 21.28). Lokaal is $\omega_\theta = \dd\theta$ voor elke gladde bepaling $\theta$ van de poolhoek — vandaar de naam en de obstructie: zo’n bepaling bestaat niet op heel $U$ . Deze ene vorm drijft het windingsgetal aan (Sectie 21.6) en, daardoorheen, de residustelling van Hoofdstuk 17.

Lees in het hoofdstuk →