الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

21الصيغ التفاضلية ومبرهنة ستوكس

استوعبت مبرهنةٌ واحدة من مبرهنات التحليل، على مدى قرنين، سائرَ مبرهنات صنفها: المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل، وغرين–ريمان (المبرهَن عليها في مجلد السنة الجامعية 2)، ومبرهنة التباعد لغاوس، ومبرهنة الدوّار لكلفن–ستوكس — فكلٌّ منها تقول إن تكامل مشتقةٍ ما على منطقة يساوي تكامل الكائن الأصلي على الحافة. وتجعل لغة الصيغ التفاضلية منها عبارةً واحدة، $\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega$ ، وتجعل تلك العبارة قابلة للبرهان بضربة واحدة. ويبني هذا الفصل اللغة بأمانة — الجبر المتعدد الخطية المتناوب، والمشتقة الخارجية، والسحوب العكسية، والتوجيه، والمكاملة على المتنوعات الجزئية في الفصل 20 — ويبرهن على مبرهنة ستوكس، ويصرف أول الشيكات: المبرهنات التكاملية الكلاسيكية، وعدد اللف الذي كان يدير الفصل 17 سرًّا، وفي مسألة نهاية الأسبوع، مبرهنة براور في النقطة الصامدة. وفي كل ما يلي، تعني الناعمة $\mathcal C^\infty$ ؛ وكل تطبيق وكل صيغة ناعمان ما لم يُذكر خلاف ذلك. ولا يكلّفنا هذا أي عموم جدير بالاقتناء عند هذا المستوى، ويطلق الأيدي.

21.1 الجبر المتعدد الخطية المتناوب

تعريف 21.1

ليكن $E$ فضاءً متجهيًّا حقيقيًّا بُعده $n$ . الصيغة المتناوبة $k$ -الخطية على $E$ هي تطبيق $\alpha\colon E^k \to \R$ ، خطي في كل متغيّر، يحقق $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ كلما تساوى وسيطان. ويُكتب فضاؤها $\Lambda^k E^*$ ؛ وباصطلاحٍ $\Lambda^0E^* = \R$ . ويفرض التناوبُ التخالفَ: فتبديل وسيطين يغيّر الإشارة (بنشر $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$ )، وعمومًا $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ من أجل كل تبديلة $\sigma$ .

مثال 21.2

على $E = \R^n$ : $\Lambda^1E^* = E^*$ هو الفضاء الثنوي؛ والمحدد في الأساس القانوني صيغةٌ متناوبة $n$ -الخطية، وستبيّن القضية 21.4 أنه يولّد $\Lambda^nE^*$ — وهو السبب العميق في وحدانية المحدد إلى غاية سلّمي. ومن أجل $k > n$ ، $\Lambda^kE^* = \{0\}$ : إذ تكون $k$ من المتجهات تابعة، وينشرها نشرُ إحداها على امتداد الأخريات فيلغي $\alpha$ بالتناوب.

تعريف 21.3

من أجل $\ell_1, \dots, \ell_k \in E^*$ ، يكون جداؤها الخارجي الصيغةَ المتناوبة $k$ -الخطية

(\ell_1 \wedge \dots \wedge \ell_k)(v_1, \dots, v_k) = \det\bigl(\ell_i(v_j)\bigr)_{1 \leq i, j \leq k} .

والتناوب وتعدد الخطية هما تناوب المحدد وتعدد خطيته في أعمدته.

قضية 21.4 (أساس $\Lambda^k$ )

ليكن $(e_1, \dots, e_n)$ أساسًا للفضاء $E$ بأساس ثنوي $(e_1^*, \dots, e_n^*)$ . تشكّل الصيغ

e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^*, \qquad I = \{i_1 < \dots < i_k\} \subseteq \{1, \dots, n\},

أساسًا للفضاء $\Lambda^kE^*$ ؛ ومنه $\dim\Lambda^kE^* = \binom nk$ . وصراحةً، $\alpha = \sum_{\abs I = k}\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})\,e_I^*$ .

برهان. التوليد. لتكن $\alpha \in \Lambda^kE^*$ ولتكن $\beta = \sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$ ، حيث يختصر $\alpha(e_I)$ المقدارَ $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$ . والطرفان $k$ -الخطية ومتناوبان، ومنه يتوافقان بمجرد أن يتوافقا على جميع الثلاثيات $k$ $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ مع $j_1 < \dots < j_k$ (إذ يرجع تعدد الخطية إلى ثلاثيات من متجهات الأساس، ويرجع التناوب إلى المتزايدة تمامًا). و $e_I^*(e_{j_1}, \dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$ : فمن أجل $I = J$ تكون المصفوفة المطابقة؛ ومن أجل $I \neq J$ ينعدم سطرٌ ما. ومنه $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ من أجل كل $J$ : أي $\beta = \alpha$ . والحرية. إذا كان $\sum_I c_Ie_I^* = 0$ ، أعطى التقييم على $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ أن $c_J = 0$ . ∎

تعريف 21.5

يمتدّ الجداء الخارجي إلى تطبيق ثنائي الخطية $\Lambda^kE^* \times \Lambda^\ell E^* \to \Lambda^{k+\ell}E^*$ ، معيَّنٍ بثنائية الخطية وبالعلاقة $(e_I^*) \wedge (e_J^*) = e_I^* \wedge e_J^*$ (بالوصل وإعادة الترتيب؛ والجداء $0$ إذا كان $I \cap J \neq \varnothing$ ). وهو تجميعي، وتخالفي التدريج:

\beta \wedge \alpha = (-1)^{k\ell}\,\alpha \wedge \beta \qquad (\alpha \in \Lambda^k, \ \beta \in \Lambda^\ell).

برهان. تُفحص الخاصيتان على عناصر الأساس وتُمدَّدان بثنائية الخطية. وأما التجميعية: فيساوي كلا تقويسَي $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ إسفينَ العائلة الموصولة من الصيغ $1$ -الخطية، بصيغة المحدد في التعريف 21.3 (بنشر لابلاس بالكتل). وأما قاعدة الإشارة: فتمرير كلٍّ من عوامل $\beta$ البالغة $\ell$ عبر عوامل $\alpha$ البالغة $k$ يكلّف إشارةً لكل مبادلة متجاورة (أي مبادلة سطرين من المحدد)، ومنه $(-1)^{k\ell}$ في المجموع. ∎

قضية 21.6 (السحب العكسي، الحالة الخطية)

يستحث تطبيقٌ خطي $u\colon E \to F$ ، من أجل كل $k$ ، التطبيقَ الخطي $u^*\colon \Lambda^kF^* \to \Lambda^kE^*$ ، $(u^*\alpha)(v_1, \dots, v_k) = \alpha(u(v_1), \dots, u(v_k))$ . وهو يحقق $u^*(\alpha \wedge \beta) = u^*\alpha \wedge u^*\beta$ و $(u \circ w)^* = w^* \circ u^*$ . وفوق ذلك:

إذا كان $\dim E = n$ و $u\colon E \to E$ ، ففي المستقيم $\Lambda^nE^*$ : $u^*\alpha = (\det u)\,\alpha$ .
وإذا كان $\operatorname{rk}u < k$ ، فإن $u^* = 0$ على $\Lambda^kF^*$ .

برهان. المتطابقات الدالّية فورية من التعاريف (وأما قاعدة الجداء فتُفحص على أساافين الصيغ $1$ -الخطية بصيغة المحدد — $\det(\ell_i(uv_j)) = \det((u^*\ell_i)(v_j))$ — ثم تُمدَّد ثنائيةَ الخطية). (1) يرسل $u^*$ الفضاءَ الأحادي البُعد $\Lambda^nE^*$ (القضية 21.4) في نفسه، ومنه $u^*\alpha = c\,\alpha$ مع $c$ لا يتعلق بالصيغة $\alpha \neq 0$ ؛ وبالاختبار على $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ و $(v_j) = (e_j)$ نجد $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$ . (2) من أجل $v_1, \dots, v_k \in E$ ، تقع المتجهات $u(v_1), \dots, u(v_k)$ في صورة $u$ ، وبُعدها $< k$ : فهي تابعة خطيًّا، وتنعدم الصيغة المتناوبة على عائلة تابعة (بنشر المتجهة التابعة على امتداد الأخريات). ∎

21.2 الصيغ التفاضلية والمشتقة الخارجية

تعريف 21.7

لتكن $U \subseteq \R^n$ مفتوحة. الصيغة التفاضلية $k$ -الخطية على $U$ هي تطبيق ناعم $\omega\colon U \to \Lambda^k(\R^n)^*$ ؛ وفي أساس القضية 21.4 (بكتابة $\dd x_i$ بدل $e_i^*$ )،

\omega = \sum_{\abs I = k} a_I\,\dd x_I, \qquad \dd x_I = \dd x_{i_1} \wedge \dots \wedge \dd x_{i_k},

بمعاملات ناعمة $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$ . وفضاؤها هو $\Omega^k(U)$ ؛ و $\Omega^0(U) = \mathcal C^\infty(U)$ . والصيغة $0$ -الخطية دالةٌ؛ والصيغة $1$ -الخطية حقلٌ من الصيغ الخطية (مثل التفاضل $\dd f$ لدالة)؛ والصيغة $n$ -الخطية هي $a\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ ، وهي المقدار المكامَل الطبيعي في الفصل 11.

تعريف 21.8 (المشتقة الخارجية)

المشتقة الخارجية هي التطبيق الخطي $\dd\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k+1}(U)$ المعرَّف بالعلاقة

\dd\Bigl(\sum_I a_I\,\dd x_I\Bigr) = \sum_I \dd a_I \wedge \dd x_I = \sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial x_j}\,\dd x_j \wedge \dd x_I .

وعلى الصيغ $0$ -الخطية تكون التفاضلَ المعتاد.

مبرهنة 21.9

(a) $\dd(\omega \wedge \eta) = \dd\omega \wedge \eta + (-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ من أجل $\omega \in \Omega^k$ (أي قاعدة ليبنيتز المدرَّجة). (b) $\dd \circ \dd = 0$ .

برهان. (a) بثنائية الخطية يكفي أن نعالج $\omega = a\,\dd x_I$ ، $\eta = b\,\dd x_J$ . عندئذٍ $\omega \wedge \eta = ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ و

\dd(\omega\wedge\eta) = (b\,\dd a + a\,\dd b) \wedge \dd x_I \wedge \dd x_J = (\dd a \wedge \dd x_I) \wedge (b\,\dd x_J) + a\,\dd b \wedge \dd x_I \wedge \dd x_J,

وتمرير الصيغة $1$ -الخطية $\dd b$ عبر عوامل $\dd x_I$ البالغة $k$ يكلّف $(-1)^k$ (التعريف 21.5): فيكون الحدّ الثاني $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ . (b) من أجل دالة: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j} \frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge \dd x_i$ . والمعامل متناظر في $(i,j)$ بمبرهنة شوارتز في المشتقات المختلطة (المبرهَن عليها في مجلد السنة الجامعية 2؛ إذ $a$ من الصنف $\mathcal C^\infty$ )، بينما $\dd x_j \wedge \dd x_i$ متخالف: فبمزاوجة الحدّين $(i,j)$ و $(j,i)$ ، يتلاشى كل شيء. وأما من أجل $\omega = \sum a_I\dd x_I$ عامة: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I) = \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ حسب (a)، وينعدم الحدّان ( $\dd(\dd x_I) = 0$ لأن المعامل ثابت). ∎

تعريف 21.10 (السحب العكسي)

ليكن $\varphi\colon U \to V$ ناعمًا (حيث $U \subseteq \R^m$ و $V \subseteq \R^n$ مفتوحتان). السحب العكسي $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ معرَّفٌ نقطةً نقطة بالسحب العكسي الخطي على امتداد التفاضل: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$ . وعمليًّا، يعوّض $\varphi^*$ : $\varphi^*f = f \circ \varphi$ على الدوال، و $\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j$ ، و $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$ .

مبرهنة 21.11

(a) $\varphi^*(\omega \wedge \eta) = \varphi^*\omega \wedge \varphi^*\eta$ و $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ \psi^*$ . (b) $\varphi^*(\dd\omega) = \dd(\varphi^*\omega)$ : أي إن المشتقة الخارجية تتبادل مع كل تعويض ناعم — وهي المتطابقة التي تجعلها مشتقةَ النظرية. (c) وإذا كان $\varphi\colon U \to V$ ناعمًا بين مفتوحتين من $\R^n$ وكانت $\omega = a\,\dd y_1 \wedge \dots \wedge \dd y_n$ ، فإن $\varphi^*\omega = (a \circ \varphi)\,\det\bigl(D\varphi\bigr)\,\dd x_1 \wedge \dots \wedge \dd x_n$ .

برهان. (a) عبارات نقطية عن السحوب العكسية الخطية (القضية 21.6)، مع قاعدة السلسلة $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$ . (b) من أجل صيغة $0$ -الخطية $f$ : يكون $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ قاعدةَ السلسلة. ومن أجل $\omega = a\,\dd y_I$ : باستعمال (a)، $\varphi^*\omega = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$ ، ومنه بقاعدة ليبنيتز (المبرهنة 21.9(a)) وبالعلاقة $\dd\dd\varphi_{i_r} = 0$ :

\dd(\varphi^*\omega) = \dd(a\circ\varphi) \wedge \dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge\dd\varphi_{i_k} = \varphi^*(\dd a) \wedge \varphi^*(\dd y_I) = \varphi^*(\dd a \wedge \dd y_I) = \varphi^*(\dd\omega).

(c) نقطةً نقطة هذا هو بالضبط $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ على الصيغ ذات الدرجة العليا (القضية 21.6(1) مع $u = D\varphi(x)$ ). ∎

مثال 21.12 (الإحداثيات القطبية)

من أجل $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ : $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta$ ، $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta$ ، ومنه

\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

فيظهر محدد ياكوبي في المثال 11.12 بجبر محض — دون أي نظرية قياس. ويحوّل التمرين 21.9 هذه الملاحظة إلى عبارة: أنه من أجل التكاملات الموجَّهة، تكون صيغة تغيير المتغيّرات هي صيغة السحب العكسي.

21.3 الصيغ المغلقة والتامة؛ المبرهنة المساعدة لپوانكاريه

تعريف 21.13

تكون $\omega \in \Omega^k(U)$ مغلقة إذا كان $\dd\omega = 0$ ، وتامة إذا كان $\omega = \dd\eta$ من أجل $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ ما (أي دالة أصلية للصيغة $\omega$ ). والتامة $\Rightarrow$ المغلقة بحكم $\dd^2 = 0$ ؛ وأما العكس فسؤالٌ عن شكل $U$ .

مثال 21.14 (الصيغة الزاوية)

على $U = \R^2 \setminus \{0\}$ ،

\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}

مغلقةٌ (بالحساب المباشر: التمرين 21.4) لكنها ليست تامة: إذ تكاملها على امتداد الدائرة الواحدية $2\pi \neq 0$ ، بينما تنعدم تكاملات الصيغ التامة على امتداد المنحنيات المغلقة (القضية 21.28). ومحليًّا، $\omega_\theta = \dd\theta$ من أجل أي تعيين ناعم $\theta$ للزاوية القطبية — ومن هنا الاسم والعائق: إذ لا يوجد أي تعيين كهذا على $U$ كله. وتدير هذه الصيغة الواحدة عددَ اللف (القسم 21.6)، ومن خلاله مبرهنة البواقي في الفصل 17.

مبرهنة 21.15 (المبرهنة المساعدة لپوانكاريه)

لتكن $U \subseteq \R^n$ مفتوحة ونجمية الشكل بالنسبة إلى $0$ . كل صيغة $k$ -الخطية مغلقة على $U$ (حيث $k \geq 1$ ) تكون تامة.

برهان. نبني مؤثر تماثل خطيًّا $h\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ يحقق

\dd(h\omega) + h(\dd\omega) = \omega \qquad (k \geq 1);\tag{21.1}

فإذا كان $\dd\omega = 0$ ، كان $\omega = \dd(h\omega)$ وانتهينا. ومن أجل $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$ نضع

h\omega = \sum_{\abs I = k}\ \sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1} \Bigl(\int_0^1 t^{k-1}a_I(tx)\,\dd t\Bigr)\, x_{i_r}\,\dd x_{i_1}\wedge\dots\wedge \widehat{\dd x_{i_r}}\wedge\dots\wedge\dd x_{i_k}

(والقبعة تحذف عاملًا؛ والتكاملات ناعمة في $x$ بالاشتقاق تحت علامة التكامل، المبرهنة 10.15، إذ يُهيمَن على جميع المشتقات على المتراصات). وفحصُ (21.1) حسابٌ يُجرى مرة واحدة في العمر، فلنجره كاملًا. نثبّت $I$ ونأخذ $\omega = a\,\dd x_I$ (بالخطية). أولًا،

\dd(h\omega) = k\Bigl(\int_0^1t^{k-1}a(tx)\dd t\Bigr)\dd x_I + \sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}\sum_{j=1}^n \Bigl(\int_0^1t^{k}\,\partial_ja(tx)\,\dd t\Bigr) x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} :

إذ تجمع الزمرة الأولى الحدودَ التي تصيب فيها $\dd$ العاملَ $x_{i_r}$ — ويعيد الإسفين $\dd x_{i_r}\wedge\dd x_{I\setminus i_r}$ تركيبَ $\dd x_I$ بإشارة $(-1)^{r-1}$ تلغي المعامل السابق، وتعطي قيم $r$ البالغة $k$ العاملَ $k$ — بينما تجمع الزمرة الثانية الحدودَ التي تصيب فيها $\dd$ التكاملَ (إذ تُخرج قاعدة السلسلة $t\,\partial_ja(tx)$ ). ثم $\dd\omega = \sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$ ، وبتطبيق تعريف $h$ في الدرجة $k+1$ ، والدليل $j$ يشغل الخانة الأولى:

h(\dd\omega) = \sum_{j=1}^n\Bigl(\int_0^1t^{k} \partial_ja(tx)\dd t\Bigr)x_j\,\dd x_I - \sum_{j=1}^n\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1} \Bigl(\int_0^1t^{k}\partial_ja(tx)\dd t\Bigr) x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} .

وتتلاشى المجاميع المزدوجة في $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$ ، فيساوي من ثَمّ

\Bigl(\int_0^1\bigl(k\,t^{k-1}a(tx) + t^k{\textstyle\sum_j}x_j\,\partial_ja(tx)\bigr)\dd t\Bigr) \dd x_I = \Bigl(\int_0^1\frac{\dd}{\dd t}\bigl(t^ka(tx)\bigr)\dd t\Bigr)\dd x_I = a(x)\,\dd x_I = \omega,

بالمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل. وقد دخلت النجمية حيث كان عليها أن تدخل: إذ $tx \in U$ من أجل $t \in \intcc01$ ، بحيث يكون $a(tx)$ ذا معنى. ∎

ملاحظة 21.16

من أجل $k = 1$ ومن أجل $\omega = \sum_j a_j\dd x_j$ ، تكون الدالة الأصلية $f(x) = \int_0^1\sum_ja_j(tx)\,x_j\,\dd t$ — أي التكامل الخطي للصيغة $\omega$ على امتداد القطعة $[0, x]$ : فالمبرهنة هي عبارة «حقلٌ ذو مصفوفة ياكوبية متناظرة تدرّجٌ» ذات المتغيّرات المتعددة في السنة الجامعية 2، والآن في كل درجة. وتبيّن الصيغة الزاوية (المثال 21.14) أن الفرضية على $U$ ليست زخرفية: إذ إن $\R^2\setminus\{0\}$ ليست نجمية الشكل، وهناك لا يستلزم الإغلاق التمام. وما ينجو على مجموعة مفتوحة عامة تقيسه كوهومولوجيا دي رام $H^k(U) = \ker\dd/\operatorname{im}\dd$ — انظر التمرين 21.12 من أجل أول حساب غير بديهي.

21.4 التوجيه والمكاملة على المتنوعات الجزئية

تتطلب مكاملة صيغة $k$ -الخطية أرضًا موجَّهة ذات بُعد $k$ . وتذكّر من الفصل 20 (المبرهنة 20.3) أن متنوعة جزئية ذات بُعد $k$ $M \subseteq \R^n$ تكون محليًّا صورةَ وسطنة ناظمية $\gamma\colon V \to M \cap W$ (حيث $V \subseteq \R^k$ مفتوحة و $\gamma$ تماثل طوبولوجي على صورته بتفاضل متباين).

تعريف 21.17

التوجيه للمتنوعة $M$ هو اختيار، من أجل كل $p \in M$ ، لأحد صنفَي توجيه أسس الفضاء المماسّ $T_pM$ ، بحيث يكون متسقًا محليًّا: أي توجد حول كل نقطة وسطنةٌ $\gamma$ يكون إطارها الإحداثي $(\partial_1\gamma, \dots, \partial_k\gamma)$ موجَّهًا إيجابيًّا عند كل نقطة من مجالها. وتسمّى هذه الوسطنات مباشرة. وتكون $M$ قابلة للتوجيه إذا وُجد توجيه؛ ويبيّن شريط موبيوس أن هذا قد يخفق. وجميع المتنوعات الجزئية في هذا الفصل موجَّهة.

تعريف 21.18 (تكامل صيغة)

لتكن $M$ متنوعةً جزئية موجَّهة ذات بُعد $k$ ولتكن $\omega$ صيغةً $k$ -الخطية معرَّفة على جوار للمتنوعة $M$ ، مع $\operatorname{supp}\omega \cap M$ متراصة. (a) إذا كان $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ من أجل وسطنة مباشرة واحدة، وضعنا

\int_M\omega = \int_V\gamma^*\omega

— والطرف الأيمن تكامل لوبيغ على $V$ (الفصل 11) للمعامل $g$ للصيغة $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ، وهو متصل ذو حامل متراص. (b) وعمومًا، نختار عددًا منتهيًا من الوسطنات المباشرة $\gamma_i(V_i)$ تغطّي المتراصة $\operatorname{supp}\omega \cap M$ وتجزئةً للوحدة تابعةً لها $(\chi_i)$ (المبرهنة المساعدة 21.20)، ونضع $\int_M\omega = \sum_i\int_M\chi_i\,\omega$ ، وكل حدّ محسوبٌ بواسطة (a). ومن أجل منحنٍ ( $k = 1$ ) موسطَن بالتطبيق $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ نكتب $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$ ، دون اشتراط التباين.

مبرهنة مساعدة 21.19 (الاتساق)

لا يتعلق التعريف (a) بالوسطنة المباشرة، ولا يتعلق التعريف (b) بالتغطية ولا بتجزئة الوحدة. وفوق ذلك، إذا كان $\Phi$ تماثلًا تفاضليًّا بين جوارَي متنوعتين جزئيتين موجَّهتين مع $\Phi(M) = M'$ ، يحمل إطارًا مباشرًا للمتنوعة $M$ إلى إطار مباشر للمتنوعة $M'$ عند نقطة ما من كل مركّبة من $M$ ، فإن $\int_{M'}\omega = \int_M\Phi^*\omega$ .

برهان. (a) لتكن $\gamma\colon V \to M$ و $\delta\colon V' \to M$ وسطنتين مباشرتين تحتوي صورتاهما $\operatorname{supp}\omega\cap M$ . والانتقال $\tau = \delta^{-1}\circ\gamma$ تماثل تفاضلي بين الأجزاء المفتوحة المعنية من $V, V'$ (ونعومة الانتقالات: المبرهنة 20.3، عبر الوصف البياني المحلي)، و $\gamma = \delta\circ\tau$ هناك، ومنه $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (المبرهنة 21.11(a)). ونكتب $\delta^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ؛ عندئذٍ (المبرهنة 21.11(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) = (g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ . وبكون الإطارين مباشرين، يرسل $D\tau$ أساسًا موجبًا إلى أساس موجب: ومنه $\det D\tau > 0$ ، أي $\det D\tau = \abs{\det D\tau}$ ، وتعطي مبرهنة تغيير المتغيّرات (المبرهنة 11.11) أن $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$ : فيتوافق التكاملان. وهذا كل سبب وجود التوجيه: فبلا التحكم في الإشارة، يختلف محدد ياكوبي عن قيمته المطلقة ويصير التكامل سيّئ التعريف. (b) إذا كانت $(\chi_i)$ و $(\tilde\chi_j)$ تجزئتين مقبولتين (بتغطيتيهما)، فحسب (a) وبالجمعية المنتهية، $\sum_i\int\chi_i\omega = \sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega = \sum_j\int\tilde\chi_j\omega$ ، وكل حدّ مزدوج قابل للحساب في أي من الخريطتين. وأما العبارة الأخيرة: فإذا جالت $\gamma$ على الوسطنات المباشرة للمتنوعة $M$ ، جالت $\Phi\circ\gamma$ على الوسطنات المباشرة للمتنوعة $M'$ (إذ مقارنة التوجيه ثابتة محليًّا، ومثبَّتة عند نقطة واحدة لكل مركّبة)، و $(\Phi\circ\gamma)^*\omega = \gamma^*(\Phi^*\omega)$ . ∎

مبرهنة مساعدة 21.20 (تجزئات الوحدة، الحالة المتراصة)

لتكن $K \subseteq \R^n$ متراصة ولتكن $W_1, \dots, W_m$ مجموعات مفتوحة تغطّي $K$ . توجد $\chi_1, \dots, \chi_m \in \mathcal C^\infty(\R^n)$ تحقق $0 \leq \chi_i \leq 1$ ، وبحوامل $\operatorname{supp}\chi_i \subseteq W_i$ متراصة، ومع $\sum\chi_i = 1$ على جوار للمجموعة $K$ .

برهان. تقع كل $x \in K$ في $W_{i(x)}$ ما مع كرة مغلقة $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$ ؛ ويستخرج التراص $x_1, \dots, x_N$ بحيث تغطّي الكرات $B(x_s, r_{x_s})$ المجموعةَ $K$ . ومن أجل كل $s$ نأخذ نتوءًا $\theta_s \in \mathcal C^\infty$ ، $0 \leq \theta_s \leq 1$ ، مع $\theta_s = 1$ على $\bar B(x_s, r_{x_s})$ ، و $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (بتمليف الدالة المميّزة للكرة ذات نصف القطر $\frac32r_{x_s}$ ، المبرهنة 12.9). ونسند كل $s$ إلى دليل واحد $i(s)$ يحقق $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ ونضع $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$ . وعلى المجموعة المفتوحة $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$ ، تفي الدوال $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ بالغرض لكنها معرَّفة هناك فقط؛ وللتعميم، لتكن $\rho \in \mathcal C^\infty(\R^n)$ تحقق $\rho = 0$ حيث $\sum_j\Theta_j \geq 1$ و $\rho > 0$ حيث $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (بتمليف قصٍّ ملائم للمقدار $1 - \sum_j\Theta_j$ )، ونضع

\chi_i = \frac{\Theta_i}{\rho + \sum_j\Theta_j} .

والمقام $> 0$ في كل مكان ويساوي $\sum_j\Theta_j$ على $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$ ، وهي جوار مفتوح للمجموعة $K$ (إذ تقع كل نقطة من $K$ في كرة ما $B(x_s, r_{x_s})$ حيث $\theta_s = 1$ )؛ وهناك $\sum_i\chi_i = 1$ . والحوامل والحدود واضحة. ∎

21.5 مبرهنة ستوكس

تعريف 21.21

المتنوعة الجزئية ذات البُعد $k$ بحافة $M \subseteq \R^n$ هي مجموعة مغطّاة بوسطنات ناظمية من نوعين: الخرائط الداخلية $\gamma\colon V \to M \cap W$ حيث $V \subseteq \R^k$ مفتوحة، وخرائط الحافة $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap W$ ، حيث $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ ويمتدّ $\gamma$ ناعمًا وناظميًّا إلى المفتوحة $V$ . والحافة $\partial M$ هي مجموعة النقاط المبلوغة عند $u_k = 0$ ؛ وهي متنوعة جزئية ذات بُعد $(k-1)$ بلا حافة، موسطَنة بالتطبيقات $u' \mapsto \gamma(u', 0)$ . ويستحث توجيهُ $M$ توجيهًا على $\partial M$ بقاعدة الناظم الخارجي أولًا: فعند $p \in \partial M$ ، يكون أساسٌ $(w_1, \dots, w_{k-1})$ للفضاء $T_p\partial M$ موجبًا إذا وفقط إذا كان $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ أساسًا موجبًا للفضاء $T_pM$ ، حيث $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ يشير خارج $M$ (وفي خريطة حافة: $\nu = -\partial_k\gamma$ ، إلى غاية إضافة مركّبات مماسّية — فصنف التوجيه لا يراها).

قاعدة الناظم الخارجي أولًا: عند كل نقطة حافة، ضع المتجهة الخارجية أولًا؛ فالأسس التي تكمّلها إلى إطار موجب للمتنوعة M توجّه M. ومن أجل مجال مستوٍ بالتوجيه المعياري، هذه هي قاعدة عكس عقارب الساعة في غرين–ريمان. — قاعدة الناظم الخارجي أولًا: عند كل نقطة حافة، ضع المتجهة الخارجية $\nu$ أولًا؛ فالأسس التي تكمّلها إلى إطار موجب للمتنوعة $M$ توجّه $\partial M$ . ومن أجل مجال مستوٍ بالتوجيه المعياري، هذه هي قاعدة عكس عقارب الساعة في غرين–ريمان.

مبرهنة مساعدة 21.22 (ستوكس على نصف الفضاء)

لتكن $\eta$ صيغةً ناعمة $(k-1)$ -الخطية على $\R^k$ ذات حامل متراص. عندئذٍ

\int_{H^k}\dd\eta = \int_{\partial H^k}\eta,

حيث يحمل $H^k$ التوجيهَ المعياري للفضاء $\R^k$ وتحمل $\partial H^k = \{u_k = 0\} \cong \R^{k-1}$ التوجيهَ المستحثّ، وهو $(-1)^k$ مضروبًا في التوجيه المعياري للفضاء $\R^{k-1}$ .

برهان. أولًا محاسبة التوجيه: الناظم الخارجي على امتداد $\partial H^k$ هو $-e_k$ ، و

\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = -\det(e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = -(-1)^{k-1}\det(e_1, \dots, e_k) = (-1)^k :

فيكون الإطار $(e_1, \dots, e_{k-1})$ للفضاء $\partial H^k$ موجبًا من أجل التوجيه المستحثّ إذا وفقط إذا كان $k$ زوجيًّا، ومن هنا المقارنة المذكورة. وبالخطية نأخذ $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ، $f \in \mathcal C^\infty_c(\R^k)$ ؛ عندئذٍ $\dd\eta = (-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (إذ يكلّف نقل $\dd u_i$ إلى خانته $i - 1$ مبادلة). وثمة حالتان، كلتاهما بتونيلي–فوبيني (المبرهنة 11.6) وبالمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل بمتغيّر واحد.

الحالة $i < k$ . بالمكاملة أولًا في $u_i$ على $\R$ : $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (بالحامل المتراص)، ومنه $\int_{H^k}\dd\eta = 0$ . وتضييق $\eta$ على $\{u_k = 0\}$ يحتوي العامل $\dd u_k$ ، وهو يتضيّق إلى $0$ (إذ $u_k$ ثابت هناك): ومنه $\int_{\partial H^k}\eta = 0$ أيضًا.

الحالة $i = k$ . بالمكاملة أولًا في $u_k$ على $\intco0\infty$ :

\begin{align*} \int_{H^k}\dd\eta &= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}} \Bigl(\int_0^\infty\partial_kf\,\dd u_k\Bigr)\dd u' \\ &= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}\bigl(0 - f(u', 0)\bigr)\dd u' = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u' . \end{align*}

وفي جهة الحافة، يتضيّق $\eta$ إلى $f(u', 0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$ ، وبكون التوجيه المستحثّ $(-1)^k$ مضروبًا في المعياري، $\int_{\partial H^k}\eta = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$ . فيتوافق الطرفان. ∎

مبرهنة 21.23 (ستوكس)

لتكن $M \subseteq \R^n$ متنوعةً جزئية متراصة موجَّهة ذات بُعد $k$ بحافة، مع $\partial M$ حاملةً التوجيهَ المستحثّ، ولتكن $\omega$ صيغةً ناعمة $(k-1)$ -الخطية على جوار للمتنوعة $M$ . عندئذٍ

\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega .

وعلى وجه الخصوص، إذا كان $\partial M = \varnothing$ : $\int_M\dd\omega = 0$ .

برهان. نغطّي المتراصة $M$ بعدد منتهٍ من صور الخرائط المباشرة (داخلية أو حافّية)، ونأخذ تجزئةً للوحدة $(\chi_i)$ تابعةً للمجموعات المفتوحة الموافقة $W_i$ من $\R^n$ (المبرهنة المساعدة 21.20)، مع $\sum\chi_i = 1$ على جوار للمتنوعة $M$ . وعلى ذلك الجوار $\dd(\sum\chi_i) = 0$ ، ومنه

\int_M\dd\omega = \sum_i\int_M\dd(\chi_i\omega), \qquad \int_{\partial M}\omega = \sum_i\int_{\partial M}\chi_i\omega :

والطرفان جمعيان، ويكفي أن نبرهن على المبرهنة من أجل صيغة حاملها في صورة خريطة واحدة.

الخريطة الداخلية. إذا كان $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ مع $V$ مفتوحة في $\R^k$ : مدّدنا $\eta = \gamma^*\omega$ بالصفر إلى $\R^k$ (فتكون ناعمة ذات حامل متراص في $V$ ) وطبّقنا المبرهنة المساعدة 21.22 مع الحامل بعيدًا عن $\partial H^k$ (بترحيل $V$ إلى نصف الفضاء العلوي المفتوح — أو بمجرد تكرار حساب الحالة $i < k$ على $\R^k$ كله): $\int_M\dd\omega = \int_{\R^k}\dd\eta = 0$ ، و $\int_{\partial M}\omega = 0$ لأن $\omega$ تنعدم بجوار $\partial M$ .

خريطة الحافة. إذا كان $\operatorname{supp}\omega\cap M \subseteq \gamma(V \cap H^k)$ : فمع $\eta = \gamma^*\omega$ ممدَّدة بالصفر، $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (المبرهنة 21.11(b))، ومنه حسب التعريف 21.18:

\int_M\dd\omega = \int_{H^k}\dd\eta \overset{\text{\text{المبرهنة المساعدة 21.22}}}{=} \int_{\partial H^k}\eta .

ويبقى أن نعيّن الطرف الأيمن بالمقدار $\int_{\partial M}\omega$ . والحافة موسطَنة بالتطبيق $\beta(u') = \gamma(u', 0)$ ، و $\beta^*\omega$ هو تضييق $\eta$ على $\{u_k = 0\}$ (أي السحب العكسي بالضمّ $u' \mapsto (u', 0)$ مركَّبًا مع $\gamma$ ). ومقارنة التوجيه هي $(-1)^k$ نفسها في الطرفين: إذ يجلس الإطار $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ في التوجيه المستحثّ للحافة $\partial M$ بالإشارة $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ المحسوبة في الخريطة (فتُسحب المتجهة الخارجية عكسيًّا إلى $-e_k$ )، وهي بالضبط الإشارة التي تربط التوجيه المستحثّ للفضاء $\partial H^k$ بالمعياري في $\R^{k-1}$ (المبرهنة المساعدة 21.22). فيلغي الاصطلاحان بعضهما: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$ . ∎

مثال 21.24 (المبرهنات الكلاسيكية)

لتكن $D \subseteq \R^2$ مجالًا متراصًّا بحافة ناعمة، موجَّهًا معياريًّا. ومن أجل $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ : $\dd\omega = \bigl(\partial_xQ - \partial_yP\bigr)\dd x\wedge\dd y$ ، وتُقرأ ستوكس

\int_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y = \oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y :

أي غرين–ريمان، المبرهَن عليها من أجل المجالات الابتدائية في مجلد السنة الجامعية 2 والآن في عمومها الطبيعي. وفي $\R^3$ ، تعطي ستوكس مطبَّقةً على صيغة التدفق $2$ -الخطية لحقل متجهي على مجال متراص مبرهنة التباعد $\int_\Omega\operatorname{div}F = \int_{\partial\Omega}\langle F, \nu\rangle\,\dd S$ ، ومطبَّقةً على صيغة $1$ -الخطية على سطح بحافة، مبرهنةَ الدوّار الكلاسيكية لكلفن–ستوكس؛ ويفصّل التمرين 21.7 المعجمين معًا.

21.6 عدد اللف

تعريف 21.25

ليكن $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ منحنيًا مغلقًا ناعمًا. عدد اللف له حول $a$ هو

\operatorname{Ind}_\gamma(a) = \frac1{2\pi}\int_\gamma\omega_\theta^a, \qquad \omega_\theta^a = \frac{(x - a_1)\,\dd y - (y - a_2)\,\dd x}{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2} .

قضية 21.26

$\operatorname{Ind}_\gamma(a) \in \Z$ ؛ وبوصفه دالةً في $a$ يكون ثابتًا على كل مركّبة مترابطة من $\R^2\setminus\gamma(\intcc01)$ ومعدومًا على المركّبة غير المحدودة. ومن أجل $\gamma(t) = a + r(\cos2\pi t, \sin2\pi t)$ : $\operatorname{Ind}_\gamma(a) = 1$ .

برهان. نأخذ $a = 0$ ونكتب $\gamma = (x, y)$ ، $\rho = \norm\gamma > 0$ ، $\vartheta(t) = \int_0^t\gamma^*\omega_\theta$ ، بحيث يكون $\vartheta' = \frac{xy' - yx'}{x^2 + y^2}$ . وبالاصطلاح العقدي لتكن $u(t) = \gamma(t)\,\rho(t)^{-1}\eu^{-\iu\vartheta(t)}$ ؛ عندئذٍ $\abs u = 1$ ويعطي حساب مباشر

\frac{u'}{u} = \frac{\gamma'}{\gamma} - \frac{\rho'}{\rho} - \iu\vartheta' = \frac{\bar\gamma\gamma'}{\abs\gamma^2} - \frac{\rho'}{\rho} - \iu\,\frac{xy' - yx'}{\rho^2} = \frac{(xx' + yy')}{\rho^2} - \frac{\rho'}{\rho} = 0,

لأن $\bar\gamma\gamma' = (xx' + yy') + \iu(xy' - yx')$ و $\rho\rho' = xx' + yy'$ . ومنه تكون $u$ ثابتة: $\gamma(t) = \rho(t)\,c\,\eu^{\iu\vartheta(t)}$ مع $\abs c = 1$ ، ويفرض $\gamma(1) = \gamma(0)$ مع $\rho(1) = \rho(0)$ أن $\eu^{\iu\vartheta(1)} = \eu^{\iu\vartheta(0)} = 1$ : أي $\vartheta(1) \in 2\pi\Z$ ، أي $\operatorname{Ind}_\gamma(0) \in \Z$ . وبوصفه دالةً في $a$ على المتممة المفتوحة للمنحني المتراص، يكون التكامل المعرِّف متصلًا (المبرهنة 10.14، بالهيمنة على جوار لكل $a$ )؛ ودالةٌ متصلة ذات قيم صحيحة ثابتةٌ محليًّا، ومن ثَمّ ثابتة على المركّبات. ومن أجل $\norm a$ كبير يكون المقدار المكامَل من رتبة $O(1/\norm a)$ بانتظام في $t$ ، ومنه يؤول الدليل إلى $0$ وينعدم على المركّبة غير المحدودة. وأما من أجل الدائرة: $\gamma^*\omega_\theta^a = 2\pi\,\dd t$ مباشرةً. ∎

ملاحظة 21.27

بالمطابقة $\C \cong \R^2$ ، $\frac{\dd z}{z} = \frac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2} + \iu\,\omega_\theta$ ، ومنه $\operatorname{Ind}_\gamma(a) = \frac1{2\iu\pi}\oint_\gamma\frac{\dd z}{z - a}$ : وهذا هو الدليل في الفصل 17، وتعيد القضية 21.26 البرهانَ على كونه صحيحًا وثابتًا محليًّا بوسائل المتغيّر الحقيقي — أي النصف الطوبولوجي من مبرهنة البواقي، قائمًا الآن على ستوكس.

قضية 21.28

إذا كانت $\omega = \dd f$ تامة على المفتوحة $U$ وكان $\gamma\colon\intcc01\to U$ منحنيًا مغلقًا، فإن $\int_\gamma\omega = 0$ .

برهان. $\int_\gamma\dd f = \int_0^1(f\circ\gamma)'(t)\,\dd t = f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)) = 0$ — إذ تعيّن قاعدة السلسلة $\gamma^*(\dd f)$ بالمقدار $(f\circ\gamma)'\,\dd t$ . ∎

طريقة 21.29

الحساب بالصيغ: (1) ميكِن — إذ تُعاد ترتيب الأساافين بإشارات، و $\dd$ يشتقّ المعاملات إلى $\dd x_j$ جديدة، والسحوب العكسية تعوّض؛ فثِق بالجبر، فهو يرمّز كل محدد ياكوبي. (2) ولتكامل صيغة على متنوعة جزئية: وسطن مباشرةً، واسحب عكسيًّا، وكامل المعامل؛ والتوجيه هو الفخّ الوحيد — فافحص إطارًا واحدًا. (3) ولتبرهن على متطابقة تكاملية، ابحث عن شكل ستوكس: هل المقدار المكامَل تام؟ وهل المجال حافة؟ (4) ولتقارن تكاملين على متنوعتين جزئيتين «متوازيتين»، طبّق ستوكس على المنطقة بينهما (أي حجة التشويه، التمرين 21.10). (5) وتكاملٌ غير معدوم لصيغة مغلقة يشهد بعائق طوبولوجي — فلا دالة أصلية، ولا ارتداد، ولا تمديد عديم الجذور: وهكذا تقتل مسألة نهاية الأسبوع ارتدادات الكرة.

21.7 تمارين

تمرين 21.1 ★

على $\R^3$ ، لتكن $\omega = x\,\dd y - z\,\dd x$ ولتكن $\eta = \dd x + y\,\dd z$ . احسب $\omega\wedge\eta$ و $\dd\omega$ و $\dd\eta$ و $\dd(\omega\wedge\eta)$ ، وتحقق من قاعدة ليبنيتز المدرَّجة على هذا المثال.

حل

حل التمرين 21.1.

بالنشر وإلغاء العوامل المكرَّرة:

\omega\wedge\eta = (x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge(\dd x + y\,\dd z) = -x\,\dd x\wedge\dd y + xy\,\dd y\wedge\dd z + yz\,\dd z\wedge\dd x

(باستعمال $\dd y\wedge\dd x = -\dd x\wedge\dd y$ و $-zy\,\dd x\wedge\dd z = yz\,\dd z\wedge\dd x$ ). ثم $\dd\omega = \dd x\wedge\dd y - \dd z\wedge\dd x = \dd x\wedge\dd y + \dd x\wedge\dd z$ و $\dd\eta = \dd y\wedge\dd z$ . وأخيرًا

\dd(\omega\wedge\eta) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z + z\,\dd y\wedge\dd z\wedge\dd x = (y + z)\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z

(إذ يسهم الحدّ الأول من $\omega\wedge\eta$ بالمقدار $\dd(-x) \wedge\dd x\wedge\dd y = 0$ ؛ والتبديلات الدورية لثلاثة عوامل زوجية). وفحص ليبنيتز: $\dd\omega\wedge\eta = (\dd x\wedge\dd y + \dd x\wedge\dd z)\wedge(\dd x + y\,\dd z) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$ ، و $(-1)^1\omega\wedge\dd\eta = -(x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge\dd y\wedge\dd z = z\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$ ؛ فيتوافق المجموع.

تمرين 21.2 ★

عيّن، على $\R^3$ ، التجسيدات الثلاثة للمؤثر $\dd$ : من أجل $f \in \Omega^0$ ، $\dd f \leftrightarrow \nabla f$ ؛ ومن أجل صيغة العمل $\omega_F = F_1\dd x + F_2\dd y + F_3\dd z$ ، $\dd\omega_F \leftrightarrow \operatorname{curl}F$ ؛ ومن أجل صيغة التدفق $\sigma_F = F_1\,\dd y\wedge\dd z + F_2\,\dd z\wedge\dd x + F_3\,\dd x\wedge\dd y$ ، $\dd\sigma_F \leftrightarrow \operatorname{div}F$ . واستنتج من $\dd^2 = 0$ المتطابقتين $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ و $\operatorname{div}\operatorname{curl}F = 0$ .

حل

حل التمرين 21.2.

للمقدار $\dd f = \sum_i\partial_if\,\dd x_i$ معاملات $\nabla f$ . ومن أجل صيغة العمل،

\dd\omega_F = (\partial_yF_3 - \partial_zF_2)\,\dd y\wedge\dd z + (\partial_zF_1 - \partial_xF_3)\,\dd z\wedge\dd x + (\partial_xF_2 - \partial_yF_1)\,\dd x\wedge\dd y = \sigma_{\operatorname{curl}F},

أي صيغة تدفق الدوّار (بجمع الحدود الستة للمقدار $\sum_i\dd F_i\wedge\dd x_i$ ). ومن أجل صيغة التدفق، $\dd\sigma_F = (\partial_xF_1 + \partial_yF_2 + \partial_zF_3)\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$ : أي التباعد. عندئذٍ يُقرأ $\dd^2f = 0$ على الصورة $\sigma_{\operatorname{curl}\nabla f} = 0$ ، أي $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ ، ويُقرأ $\dd^2\omega_F = 0$ على الصورة $(\operatorname{div}\operatorname{curl}F)\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0$ : فالمتطابقتان المتجهيتان متطابقةٌ واحدة، $\dd^2 = 0$ ، مقروءةً في درجتين.

تمرين 21.3 ★★

حدّد ما إذا كانت كل صيغة $1$ -الخطية مغلقة أو تامة على مجالها، واحسب دالةً أصلية حين توجد: (a) $(2xy + z^2)\,\dd x + x^2\,\dd y + 2xz\,\dd z$ على $\R^3$ ؛ (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2}$ على $\R^2\setminus\{0\}$ ؛ (c) $\dfrac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$ على نصف المستوي $\{x > 0\}$ .

حل

حل التمرين 21.3.

(a) الإغلاق هو تناظر المشتقات المتقاطعة: $\partial_y(2xy + z^2) = 2x = \partial_x(x^2)$ ، $\partial_z(2xy + z^2) = 2z = \partial_x(2xz)$ ، $\partial_z(x^2) = 0 = \partial_y(2xz)$ . والمجال $\R^3$ نجمي الشكل: فهي تامة (المبرهنة 21.15)، بدالة أصلية $f = x^2y + xz^2$ (تحقق من $\dd f$ ). (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2} = \tfrac12\,\dd\log(x^2 + y^2)$ : تامة على $\R^2\setminus\{0\}$ كله (ومن ثَمّ مغلقة) — فقريبةُ الصيغة الزاوية الشعاعية غير مؤذية. (c) على $\{x > 0\}$ تكون الصيغة $\omega_\theta$ ، وهي مغلقة (التمرين 21.4)؛ ونصف المستوي محدّب، ومنه فهي تامة هناك، وبالفعل يحقق $f = \arctan(y/x)$ أن $\dd f = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$ . فهي تامة على نصف المستوي، غير تامة على المستوي المثقوب: أي إن العائق يسكن الثقب لا الصيغة.

تمرين 21.4 ★★

(الصيغة الزاوية) تحقق من أن $\omega_\theta$ (المثال 21.14) مغلقة؛ واحسب $\int_\gamma\omega_\theta$ من أجل $\gamma$ الدائرةَ ذات نصف القطر $r$ حول $0$ ؛ واخلص إلى أن $\omega_\theta$ ليست تامة على $\R^2\setminus\{0\}$ ، وأن $\R^2\setminus\{0\}$ ليست نجمية الشكل بالنسبة إلى أي من نقاطها (بطريقين: عبر المبرهنة 21.15، ومباشرةً من الهندسة).

حل

حل التمرين 21.4.

الإغلاق: مع $\rho^2 = x^2 + y^2$ ،

\partial_x\Bigl(\frac{x}{\rho^2}\Bigr) = \frac{\rho^2 - 2x^2}{\rho^4} = \frac{y^2 - x^2}{\rho^4} = \partial_y\Bigl(\frac{-y}{\rho^2}\Bigr),

ومنه $\dd\omega_\theta = \bigl(\partial_x(x/\rho^2) - \partial_y(-y/\rho^2)\bigr)\,\dd x\wedge\dd y = 0$ . وعلى $\gamma(t) = (r\cos2\pi t, r\sin2\pi t)$ :

\gamma^*\omega_\theta = \frac{2\pi r^2(\cos^22\pi t + \sin^22\pi t)}{r^2}\,\dd t = 2\pi\,\dd t, \qquad\text{ومنه}\qquad \int_\gamma\omega_\theta = 2\pi .

ولو كانت $\omega_\theta$ تامة لانعدم هذا التكامل (القضية 21.28): فهي ليست تامة. ولو كانت $\R^2\setminus\{0\}$ نجمية الشكل بالنسبة إلى $p$ ما، لجعلت المبرهنة المساعدة لپوانكاريه (منقولةً إلى $p$ ) كل صيغة مغلقة تامة — وهو تناقض. ومباشرةً: من أجل أي $p \neq 0$ ، تمرّ القطعة من $p$ إلى النقطة $-p$ من المجال بالنقطة $0$ : فتخفق النجمية عند كل نقطة.

تمرين 21.5 ★★

(صيغة المساحة لسطح فائق) لتكن $M \subseteq \R^n$ سطحًا فائقًا متراصًّا موجَّهًا توجيهُه معطًى بحقل ناظمي واحدي $\nu$ (بحيث يكون $(w_1, \dots, w_{n-1})$ موجبًا إذا وفقط إذا كان $(\nu, w_1, \dots, w_{n-1})$ موجبًا في $\R^n$ ). برهن على أن الصيغة $(n-1)$ -الخطية $\sigma_\nu = \sum_i(-1)^{i-1}\nu_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ تتضيّق على $M$ إلى صيغة المساحة: أي من أجل وسطنة مباشرة $\gamma$ ، $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u_1\wedge\dots \wedge\dd u_{n-1}$ ، حيث $G = ({}^t D\gamma)(D\gamma)$ مصفوفة غرام. (لاحظ أن $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots, e_{n-1}) = \det(\nu, \partial_1\gamma, \dots, \partial_{n-1}\gamma)$ وربّع هذا المحدد.) واحسب $\int_{S^2}\sigma_\nu = 4\pi$ .

حل

حل التمرين 21.5.

من أجل متجهات $v_1, \dots, v_{n-1}$ ، يعطي نشر المحدد على امتداد عموده الأول

\det(\nu, v_1, \dots, v_{n-1}) = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\nu_i\, \det\bigl(\text{الأسطر} \neq i \text{ من } (v_1, \dots, v_{n-1})\bigr) = \sigma_\nu(v_1, \dots, v_{n-1}),

لأن $(\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n)(v_1, \dots, v_{n-1})$ هو بالضبط المحدد الجزئي المحذوف ذو الرتبة $i$ (التعريف 21.3). وبتطبيق ذلك على $v_j = \partial_j\gamma$ : $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots, e_{n-1}) = \det A$ مع $A = (\nu\ \partial_1\gamma\ \cdots\ \partial_{n-1}\gamma)$ . والآن تكون ${}^t\!AA$ قطرية بالكتل: $\langle\nu, \nu\rangle = 1$ و $\langle\nu, \partial_j\gamma\rangle = 0$ (إذ $\nu$ ناظمية والمتجهات $\partial_j\gamma$ مماسّة)، ومنه $(\det A)^2 = \det({}^t\!AA) = \det G$ ؛ و $\det A > 0$ من أجل وسطنة مباشرة (وهذا ما يعنيه التوجيه بالمتجهة $\nu$ ): أي $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{n-1}$ ، وهو عنصر المساحة لغرام. ومن أجل $S^2$ ، $\nu(x) = x$ والوسطنة الكروية $\gamma(\theta, \varphi) = (\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ على $(0,2\pi)\times(0,\pi)$ (وهي مباشرة؛ وتفوّت خط طول واحدًا، وهو مجموعة لا تحمل أي مساحة): $\det G = \sin^2\varphi$ ، ومنه $\int_{S^2}\sigma_\nu = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\, \dd\theta = 4\pi$ .

تمرين 21.6 ★★

احسب $\int_{S^2}\omega$ من أجل $\omega = x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$ : (a) مباشرةً بالإحداثيات الكروية؛ (b) عبر ستوكس على الكرة الواحدية. واستنتج $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$ من مساحة $S^2$ ، وعمّم: $n\operatorname{vol}(B^n) = \operatorname{area}(S^{n-1})$ ، وهو متسق مع المبرهنة 11.13.

حل

حل التمرين 21.6.

الصيغة $\omega$ المعطاة هي $\sigma_\nu$ من أجل $\nu(x) = x$ على $S^2$ ، ومنه فإن (a) هي الحساب المنجَز للتوّ: $\int_{S^2}\omega = 4\pi$ . و(b) $\dd\omega = 3\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$ ، وتعطي ستوكس على الكرة الواحدية المصمتة أن $\int_{S^2}\omega = 3\operatorname{vol}(B^3)$ : ومنه $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$ . وعمومًا، تتضيّق الصيغة $\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}x_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ على $S^{n-1}$ إلى صيغة المساحة ( $\nu = x$ في التمرين 21.5)، $\dd\sigma = n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ ، وتعطي ستوكس $\operatorname{area}(S^{n-1}) = n\operatorname{vol}(B^n)$ — وهو متسق مع صيغ دالة غاما في المبرهنة 11.13.

تمرين 21.7 ★★

(المعجمان) استنبط بعناية من المبرهنة 21.23: (a) مبرهنة التباعد في $\R^3$ (بضمّ التمرين 21.2 و التمرين 21.5)؛ (b) ومبرهنة كلفن–ستوكس $\int_S\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S = \oint_{\partial S}\langle F, \tau\rangle\,\dd\ell$ من أجل سطح متراص موجَّه بحافة في $\R^3$ . وتحقق من توافق اصطلاحات التوجيه على نصف الكرة العلوي المحدود بخط الاستواء.

حل

حل التمرين 21.7.

(a) بتطبيق ستوكس على صيغة التدفق $\sigma_F$ على المجال المتراص $\Omega$ : $\int_\Omega\operatorname{div}F\,\dd x = \int_{\partial\Omega}\sigma_F$ (التمرين 21.2 من أجل الجهة الداخلية). ونعيّن المقدار المكامَل الحدّي: فمن أجل $v_1, v_2$ مماسّتين عند نقطة من $\partial\Omega$ ، يعطي نشر العمود الأول في التمرين 21.5 أن $\sigma_F(v_1, v_2) = \det(F, v_1, v_2)$ ؛ وبكتابة $F = \langle F, \nu\rangle\nu + T$ مع $T$ مماسّية، يكون العمود $T$ تركيبةً لمستوي $v_1, v_2$ ، ومنه $\det(T, v_1, v_2) = 0$ و $\sigma_F\vert_{\partial\Omega} = \langle F, \nu\rangle\,\sigma_\nu = \langle F, \nu\rangle\,\dd S$ : أي مبرهنة التباعد، مع $\nu$ الناظمية الخارجية (إذ الناظم الخارجي أولًا هو بالضبط التوجيه المستحثّ). (b) بتطبيق ستوكس على $\omega_F$ على السطح ذي الحافة $S$ : يتضيّق $\dd\omega_F = \sigma_{\operatorname{curl}F}$ إلى $\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S$ بالتعيين نفسه، بينما على منحني الحافة $\gamma^*\omega_F = \langle F\circ\gamma, \gamma'\rangle\,\dd t$ ، أي $\oint\langle F, \tau\rangle\,\dd\ell$ . ونصف الكرة العلوي بالناظمية الخارجية (الشعاعية) $\nu$ : عند نقطة خط الاستواء $p = (1,0,0)$ تكون المتجهة الخارجية داخل السطح هي $-e_3$ ؛ وبإكمالها إلى أُطر موجبة يتبيّن أن خط الاستواء يُجرى عكس عقارب الساعة منظورًا إليه من الأعلى (من $+e_3$ ): أي قاعدة اليد اليمنى، بالاصطلاح نفسه على طرفَي المتطابقة.

تمرين 21.8 ★★

(متطابقات غرين) من أجل $u, v$ ناعمتين على جوار لمجال متراص $\Omega \subseteq \R^n$ بحافة ناعمة، برهن على

\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v + \langle\nabla u, \nabla v\rangle\bigr) = \int_{\partial\Omega}u\,\partial_\nu v\,\dd S, \qquad \int_\Omega\bigl(u\,\Delta v - v\,\Delta u\bigr) = \int_{\partial\Omega}\bigl(u\,\partial_\nu v - v\,\partial_\nu u\bigr)\dd S .

واستنتج: أن دالةً توافقية على $\Omega$ تنعدم على $\partial\Omega$ تنعدم انعدامًا تامًّا، وأن دالتين توافقيتين لهما القيم الحدّية نفسها تتوافقان — أي الوحدانية في مسألة ديريكليه في الفصل 18.

حل

حل التمرين 21.8.

نطبّق مبرهنة التباعد (التمرين 21.7(a)، وبرهانها لا يتعلق بالبُعد) على $F = u\nabla v$ : $\operatorname{div}(u\nabla v) = u\,\Delta v + \langle\nabla u, \nabla v\rangle$ و $\langle F, \nu\rangle = u\,\partial_\nu v$ : أي المتطابقة الأولى. وبتبديل $u, v$ والطرح يتلاشى الحدّ المتناظر: أي الثانية. وإذا كان $\Delta u = 0$ على $\Omega$ و $u = 0$ على $\partial\Omega$ : أعطت المتطابقة الأولى مع $v = u$ أن $\int_\Omega\norm{\nabla u}^2 = 0$ ، ومنه $\nabla u \equiv 0$ وتكون $u$ ثابتة على كل مركّبة؛ وغلقُ كل مركّبة يلاقي $\partial\Omega$ (بالحدّية)، حيث $u = 0$ : أي $u \equiv 0$ . ودالتان توافقيتان لهما القيم الحدّية نفسها تختلفان بدالة كهذه $u$ : فتتوافقان — أي الوحدانية في مسألة ديريكليه، مكمِّلةً نظرية الوجود على القرص في الفصل 18.

تمرين 21.9 ★★

(تغيير المتغيّرات، الصيغة الموجَّهة) ليكن $\varphi\colon U \to V$ تماثلًا تفاضليًّا بين مفتوحتين من $\R^n$ مع $\det D\varphi > 0$ ، ولتكن $f$ متصلة ذات حامل متراص في $V$ . برهن على أن متطابقة السحب العكسي $\int_U\varphi^*(f\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n) = \int_Vf\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ تكافئ مبرهنة تغيير المتغيّرات (المبرهنة 11.11) من أجل $\varphi$ كهذا، واشرح بالضبط أين ذهبت القيمة المطلقة لمحدد ياكوبي.

حل

حل التمرين 21.9.

حسب المبرهنة 21.11(c)، $\varphi^*(f\,\dd y_1\wedge\dots\wedge\dd y_n) = (f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ ، ومنه تُقرأ متطابقة السحب العكسي

\int_U(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd x = \int_Vf\,\dd y .

وبما أن $\det D\varphi > 0$ في كل مكان، $\det D\varphi = \abs{\det D\varphi}$ ، وهذه حرفيًّا صيغة تغيير المتغيّرات (المبرهنة 11.11) من أجل مقادير مكامَلة متصلة ذات حامل متراص: فكل عبارة هي الأخرى. وأما القيمة المطلقة فقد ذهبت إلى الفرضية: أي التوجيه. فمن أجل $\varphi$ عاكس للتوجيه تكتسب متطابقةُ الصيغ إشارةً سالبة شاملة (إذ تحسّ الصيغ بالتوجيه)، بينما تحتفظ صيغة القياس بالمقدار $\abs{\det}$ (إذ لا تحسّ القياسات به): أي محاسبتان لمحدد ياكوبي واحد.

تمرين 21.10 ★★★

(التشويه) لتكن $\omega$ صيغةً $2$ -الخطية مغلقة على $\R^3\setminus\{0\}$ وليكن $S_r$ الكرةَ ذات نصف القطر $r$ ومركزها $0$ . برهن على أن $\int_{S_r}\omega$ لا يتعلق بنصف القطر $r > 0$ (بتطبيق ستوكس على القشرة بين نصفَي قطر؛ وانتبه إلى توجيهَي الحافة). وطبّق ذلك على صيغة الزاوية المجسمة

\omega = \frac{x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} :

وتحقق من أنها مغلقة، واحسب $\int_{S_r}\omega = 4\pi$ ، واخلص إلى أنها مغلقة وليست تامة على $\R^3\setminus\{0\}$ — أي شقيقة $\omega_\theta$ في البُعدين، والمضمون الهندسي لقانون غاوس في الكهرباء الساكنة.

حل

حل التمرين 21.10.

القشرة $A = \{r_1 \leq \norm x \leq r_2\}$ متنوعة جزئية متراصة ذات بُعد $3$ بحافة $S_{r_2}\cup S_{r_1}$ ؛ والتوجيهان المستحثّان هما توجيه الكرة المعتاد على $S_{r_2}$ (الخارجي من $A$ = بعيدًا عن $0$ ) والمعاكس على $S_{r_1}$ (الخارجي من $A$ = نحو $0$ ). وستوكس مع $\dd\omega = 0$ :

0 = \int_A\dd\omega = \int_{S_{r_2}}\omega - \int_{S_{r_1}}\omega .

وأما صيغة الزاوية المجسمة: فمع $\rho = \norm x$ و $\sigma = x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$ ، $\omega = \rho^{-3}\sigma$ و

\dd\omega = \sum_i\partial_i\bigl(x_i\rho^{-3}\bigr)\, \dd x\wedge\dd y\wedge\dd z = \bigl(3\rho^{-3} - 3\rho^{-5}\cdot\rho^2\bigr)\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0 .

وعلى $S_r$ ، من أجل $v_1, v_2$ مماسّتين: $\omega(v_1, v_2) = r^{-3}\det(x, v_1, v_2) = r^{-3}\,r\det(\nu, v_1, v_2) = r^{-2}\,\dd S(v_1, v_2)$ ، ومنه $\int_{S_r}\omega = r^{-2}\cdot4\pi r^2 = 4\pi$ : أي ثابت في $r$ ، كما يتنبّأ التشويه، وغير معدوم — ومنه تكون $\omega$ مغلقة وليست تامة على $\R^3\setminus\{0\}$ (إذ تكامل صيغة تامة على $S_r$ العديمة الحافة $0$ بستوكس). وهذا هو قانون غاوس: أن تدفق حقل شحنة واحدية عبر أي كرة محيطة هو $4\pi$ ، مهما كان نصف القطر.

تمرين 21.11 ★★

ليكن $\gamma$ منحنيًا مغلقًا ناعمًا في $\R^2\setminus\{0\}$ مع $n = \operatorname{Ind}_\gamma(0)$ . برهن على $\int_\gamma\omega = n\int_{S^1}\omega$ من أجل كل صيغة $1$ -الخطية مغلقة $\omega$ على $\R^2\setminus\{0\}$ (اكتب $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$ حسب التمرين 21.12). والتفسير: أنه على المستوي المثقوب، يكون عدد اللف العائقَ الوحيد أمام انعدام الأدوار.

حل

حل التمرين 21.11.

نكتب $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$ (التمرين 21.12) مع $c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ . عندئذٍ

\int_\gamma\omega = c\int_\gamma\omega_\theta + \int_\gamma\dd f = c\cdot2\pi\operatorname{Ind}_\gamma(0) + 0 = n\int_{S^1}\omega,

حسب القضية 21.28 وبتعريف الدليل. فالعدد الصحيح الواحد $n$ يتحكم في كل دور على المستوي المثقوب: إذ لا تستطيع الصيغ $1$ -الخطية المغلقة أن تميّز بين حلقتين لهما عدد اللف نفسه.

تمرين 21.12 ★★★

(أول حساب لدي رام) برهن على أن كل صيغة $1$ -الخطية مغلقة $\omega$ على $U = \R^2\setminus\{0\}$ تُكتب بكيفية وحيدة

\omega = c\,\omega_\theta + \dd f, \qquad c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega,\quad f \in \mathcal C^\infty(U) :

عرّف $f(p)$ بمكاملة $\omega - c\,\omega_\theta$ على امتداد مسار من $(1,0)$ إلى $p$ (بقطعة شعاعية ثم قوس دائري)، وبرهن على أن النتيجة لا تتعلق بالاختيارات بالضبط لأن الدور على $S^1$ منعدم، وتحقق من $\dd f = \omega - c\,\omega_\theta$ . واخلص: $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \cong \R$ ، مولَّدة بالصيغة الزاوية.

حل

حل التمرين 21.12.

لتكن $\alpha = \omega - c\,\omega_\theta$ : فهي مغلقة، و $\int_{S^1}\alpha = 0$ باختيار $c$ ( $\int_{S^1}\omega_\theta = 2\pi$ ). ونسحب عكسيًّا بالتطبيق القطبي $\Phi(\rho, \theta) = (\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$ ، وهو تماثل تفاضلي محلي غامر $(0, \infty)\times\R \to U$ : فتكون $\Phi^*\alpha$ مغلقة (المبرهنة 21.11(b)) على المفتوحة المحدّبة $(0,\infty)\times\R$ ، ومن ثَمّ تامة (المبرهنة 21.15): $\Phi^*\alpha = \dd g$ . ومن أجل $\rho$ مثبَّت: يكون $g(\rho, \theta + 2\pi) - g(\rho, \theta) = \int_\theta^{\theta + 2\pi}\partial_\theta g\,\dd s$ تكاملَ $\alpha$ حول الدائرة ذات نصف القطر $\rho$ ، وهو يساوي $\int_{S^1}\alpha = 0$ (إذ التاج بين الدائرتين سطح متراص بحافة؛ وستوكس كما في التمرين 21.10، بدرجة أدنى). ومنه تكون $g$ دورية بالدور $2\pi$ في $\theta$ وتنزل إلى دالة معرَّفة جيدًا $f$ على $U$ تحقق $f\circ\Phi = g$ ؛ و $f$ ناعمة (لأن $\Phi$ تماثل تفاضلي محلي) ويفرض $\Phi^*(\dd f) = \dd g = \Phi^*\alpha$ أن $\dd f = \alpha$ . ومنه $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$ . وأما الوحدانية: فالمكاملة على $S^1$ تثبّت $c$ ، لأن للصيغ التامة دورًا معدومًا؛ و $f$ وحيدة إلى غاية ثابت جمعي. ومنه يكون التطبيق $[\omega] \mapsto \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ تماثلًا خطيًّا $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \to \R$ ، ويولّد صنفُ $\omega_\theta$ : أي إن الثقب ذو بُعد واحد بالضبط، كوهومولوجيًّا.

21.8 مسألة: مبرهنة براور في النقطة الصامدة

مسألة 21.1

مسألة نهاية الأسبوع — لا ارتداد ولا هروب

تقول مبرهنة براور إن لكل تطبيق متصل من الكرة الواحدية المغلقة $\bar B = \bar B^n \subseteq \R^n$ إلى نفسها نقطةً صامدة — وهي إحدى مبرهنات الرياضيات الكبرى، بنتائج تمتد من نظرية الألعاب (توازنات ناش) إلى تحليل المصفوفات. وبرهانها بالصيغ التفاضلية أنظف البراهين المعروفة: إذ تبيّن ستوكس أن الكرة السطحية ليست ارتدادًا للكرة المصمتة، ويتبع كل شيء. وفي كل ما يلي، $S = S^{n-1} = \partial\bar B$ ، مع $n \geq 2$ ، و

\sigma = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_i\, \dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge \dd x_n

(والقبعة تحذف العامل).

الجزء الأول — أداة القياس.

احسب $\dd\sigma$ ، واستنتج من ستوكس (المبرهنة 21.23) أن $\int_S\sigma = n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$ ، حيث تحمل $S$ توجيهَ حافة الكرة المصمتة.
ومن أجل $n = 2$ و $n = 3$ ، عيّن تضييق $\sigma$ على $S$ بصيغتَي طول القوس والمساحة (التمرين 21.5 مع $\nu(x) = x$ ) وأعد حساب $\int_S\sigma$ مباشرةً.
لتكن $W \subseteq \R^N$ مفتوحة ولتكن $\varphi\colon W \to \R^n$ ناعمة مع $\norm{\varphi(x)} = 1$ من أجل كل $x \in W$ . برهن على أن $\varphi^*(\dd\sigma) = 0$ . (اشتقّ $\norm\varphi^2 = 1$ : فتقع صورة $D\varphi(x)$ في الفضاء الفائق $\varphi(x)^\perp$ ، وبُعده $n - 1$ ؛ ثم طبّق القضية 21.6(2).)
وأين الخلل في «البرهان» التالي على أن $\int_S\sigma = 0$ : «إن $S$ متراصة بلا حافة، وتضييق $\sigma$ على $S$ صيغةٌ ذات درجة عليا عليها، ومن ثَمّ مغلقة، ومن ثَمّ $\int_S\sigma = \int_S\dd(\text{شيء ما}) = 0$ بستوكس»؟ (عيّن الكلمة الخاطئة.)
اشرح في فقرة واحدة استراتيجية الجزء الثاني: ماذا سيُكامَل، وعلى ماذا، ومن أين سيأتي التناقض.

الجزء الثاني — لا ارتداد ناعم. لنفترض، للتناقض، أن $r$ ارتدادٌ ناعم للكرة المصمتة على كرتها السطحية: أي إن $r$ ناعم على جوار للمجموعة $\bar B$ ، و $r(\bar B) \subseteq S$ ، و $r(x) = x$ من أجل كل $x \in S$ .

برّر $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ (إذ يتضيّق $r$ على $S$ إلى المطابقة: فإذا كان $\gamma$ وسطنةً مباشرة لقطعة من $S$ ، فإن $r\circ\gamma = \gamma$ ).
باستعمال ستوكس على $\bar B$ ، برهن على $\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ .
برهن على $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma) = 0$ (بالسؤال 3 مطبَّقًا على $\varphi = r$ )، واخلص: أنه لا يوجد أي ارتداد ناعم $\bar B \to S$ .
وسوِّ الحالة المستبعدة $n = 1$ يدويًّا: برهن مباشرةً على أنه لا يوجد أي تطبيق متصل $\intcc{-1}1 \to \{-1, 1\}$ يثبّت الطرفين معًا، وسمِّ المبرهنة التي استعملتها.

الجزء الثالث — براور الناعمة. لتكن $g$ ناعمة على جوار للمجموعة $\bar B$ مع $g(\bar B) \subseteq \bar B$ ولا نقطة صامدة في $\bar B$ .

برهن على $\delta = \min_{x\in\bar B}\norm{g(x) - x} > 0$ .
من أجل $x \in \bar B$ لتكن $u(x) = \frac{x - g(x)}{\norm{x - g(x)}}$ ولتكن $r(x) = x + t(x)\,u(x)$ تقاطعَ نصف المستقيم $\{x + tu(x) : t \geq 0\}$ مع $S$ . حُلّ المعادلة من الدرجة الثانية $\norm{x + tu}^2 = 1$ واحصل على

$t(x) = -\langle x, u(x)\rangle + \sqrt{1 - \norm x^2 + \langle x, u(x)\rangle^2} \;\geq\; 0 .$
برهن على أن المقدار تحت الجذر موجب تمامًا على $\bar B$ : فإذا كان $1 - \norm x^2 + \langle x, u(x)\rangle^2 = 0$ ، فإن $\norm x = 1$ و $\langle x, u(x)\rangle = 0$ ، أي $\langle x, x - g(x)\rangle = 0$ ، أي $\langle x, g(x)\rangle = 1$ ؛ وبكوشي–شوارتز مع $\norm x = 1$ ، $\norm{g(x)} \leq 1$ ، وهذا يفرض $g(x) = x$ — وهو مستبعد. واستنتج أن $r$ ناعم على جوار للمجموعة $\bar B$ .
برهن على $r(\bar B) \subseteq S$ وعلى $r(x) = x$ من أجل $x \in S$ (من أجل $\norm x = 1$ ، تحقق من $t(x) = 0$ باستعمال $\langle x, u(x)\rangle \geq 0$ ، وهو نفسه ينتج من $\langle x, x - g(x)\rangle = 1 - \langle x, g(x)\rangle \geq 0$ ). واخلص مع الجزء الثاني: أن لكل تطبيق ذاتي ناعم للكرة المصمتة $\bar B$ نقطةً صامدة.

الجزء الرابع — براور المتصلة. لتكن $f\colon\bar B\to\bar B$ متصلة بلا نقطة صامدة.

برهن على $\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - x} > 0$ ، وأنتج تطبيقًا حدوديًّا $p\colon\R^n\to \R^n$ يحقق $\sup_{\bar B}\norm{p - f} < \varepsilon/2$ (بستون–فايرشتراس، المبرهنة 7.15، إحداثيًّا إحداثيًّا — وبرّر الانتقال من التقريب السلّمي إلى المتجهي).
وقد يغادر التطبيق $p$ الكرةَ؛ فنضع $g = \frac{p}{1 + \varepsilon/2}$ . برهن على $g(\bar B) \subseteq \bar B$ وعلى $\sup_{\bar B}\norm{g - f} < \varepsilon$ .
استنتج تناقضًا مع الجزء الثالث واخلص: أن لكل تطبيق متصل $\bar B^n \to \bar B^n$ نقطةً صامدة.
بيّن بمثال أن المبرهنة تخفق على: الكرة المفتوحة؛ والكرة السطحية $S$ ؛ والتاج المغلق. وأي خاصية للمجموعة $\bar B$ يفقدها كل مثال مضاد؟

الجزء الخامس — العوائد.

(بيرون–فروبنيوس، الوجود) لتكن $A$ مصفوفةً من الرتبة $n\times n$ جميع عناصرها $> 0$ ، ولتكن $\Delta = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i = 1\}$ . برهن على أن التطبيق $x \mapsto Ax/\norm{Ax}_1$ معرَّف جيدًا ومتصل على $\Delta$ ، وأن $\Delta$ مطابقة طوبولوجيًّا لكرة مغلقة من $\R^{n-1}$ (بتماثل طوبولوجي شعاعي من محدّبة متراصة ذات داخل غير خالٍ في غلافها التآلفي)، واخلص إلى أن للمصفوفة $A$ متجهةً ذاتية بعناصر موجبة تمامًا وقيمةً ذاتية $> 0$ .
استنتج أن لكل مصفوفة عشوائية بعناصر موجبة (أي بأعمدة مجموعها $1$ ) متجهةً احتمالية ساكنة $\pi = A\pi$ — أي المتجهة من نمط بيج رانك. (وتصح الوحدانية أيضًا لكنها تحتاج إلى أدوات أخرى.)
(الكرة المشعرة، الإعداد) لتكن $v$ ناعمة على جوار للمجموعة $S = S^{n-1}$ مع $\langle v(x), x\rangle = 0$ و $\norm{v(x)} = 1$ من أجل $x \in S$ (أي حقل مماسّ واحدي). ومن أجل $t \in \R$ نضع $F_t(x) = x + t\,v(x)$ . برهن على $\norm{F_t(x)} = \sqrt{1 + t^2}$ على $S$ : أي إن $F_t$ يرسل $S$ في الكرة السطحية $\sqrt{1+t^2}\,S$ .
برهن على أن $P(t) = \int_SF_t^*\sigma$ كثير حدود في $t$ (إذ كل دالة معامل للصيغة $F_t^*\sigma$ في خريطة كثيرُ حدود في $t$ ، بمعاملات ناعمة في متغيّر الخريطة؛ والمكاملة خطية).
برهن على أنه من أجل $\abs t$ صغير، يكون $F_t$ تماثلًا تفاضليًّا من $S$ على $\sqrt{1+t^2}\,S$ : بالتباين من أجل $t\operatorname{Lip}(v) < 1$ ؛ وبالتماثل التفاضلي المحلي بمبرهنة الدالة العكسية (المبرهنة 20.1 في الخرائط)؛ وبكون الصورة مفتوحة ومغلقة في الكرة السطحية الهدف المترابطة. واستنتج، باستعمال المبرهنة المساعدة 21.19 والتحجيم $\sigma_{\lambda x} = \lambda^{n}\,\sigma_x$ تحت $x \mapsto \lambda x$ (تحقق منه)، أن

$P(t) = \pm(1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma, \qquad\text{بالإشارة} + \text{ من أجل } t$

(والتوجيه محفوظ بالاتصال انطلاقًا من $t = 0$ ).
اخلص (ميلنور): أنه إذا كان $n$ فرديًّا، فإن $(1 + t^2)^{n/2}$ ليس كثير حدود في $t$ ، ومع ذلك يوافق كثير الحدود $P(t)/\int_S\sigma$ بجوار $0$ — وهو تناقض. ومن ثَمّ فإن الكرات السطحية ذات البُعد الزوجي $S^{n-1}$ (حيث $n$ فردي) لا تحمل أي حقل مماسّ واحدي، ولا تحمل، بالتعيير والتنعيم (بالالتفاف إحداثيًّا ثم بالإسقاط — وبرّر الخطوتين)، أي حقل مماسّ متصل عديم الجذور البتة: فكل ريح على الأرض تترك نقطةً ساكنة.
(الكرات الفردية تُمشَّط بحرية) أبرز على $S^{2m-1} \subseteq \R^{2m} \cong \C^m$ حقلًا مماسًّا واحديًّا ناعمًا صريحًا: $v(x) = \iu x$ بالاصطلاح العقدي، أي

$v(x_1, y_1, \dots, x_m, y_m) = (-y_1, x_1, \dots, -y_m, x_m) .$

وتحقق من التماس ومن الطول الواحدي، واخلص إلى أن ثنائية التماثل في السؤال 23 مضبوطة: أي إن الكرة السطحية قابلة للتمشيط إذا وفقط إذا كان بُعدها فرديًّا. وأين ينكسر برهانُ كثير الحدود في السؤال 22 من أجل $n$ زوجي؟
(الجذور من السلوك على الحافة) لتكن $f \colon \bar B^n \to \R^n$ متصلة مع $\langle f(x), x\rangle \geq 0$ من أجل كل $x \in S^{n-1}$ . برهن على أن $f$ تنعدم في موضع ما من $\bar B^n$ . (وإلا فإن $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ يرسل $\bar B$ اتصاليًّا في $S \subseteq \bar B$ ؛ فطبّق براور على $g$ وناقض فرضية الحافة.) واستنتج محك الغمر: أن تطبيقًا متصلًا $F\colon\R^n\to\R^n$ يحقق $\frac{\langle F(x), x\rangle}{\norm x} \to +\infty$ حين $\norm x \to \infty$ يكون غامرًا — وهو السلف المنتهي البُعد لحجج القسرية في التحليل غير الخطي.

حل

حل المسألة 21.1.

1. $\dd\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}\,\dd x_i\wedge\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ ؛ ونقل $\dd x_i$ عبر العوامل $i-1$ السابقة يكلّف $(-1)^{i-1}$ ، وهو يلغي المعامل السابق: فيساوي كلٌّ من الحدود $n$ المقدارَ $\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ ، ومنه $\dd\sigma = n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ . وستوكس على الكرة المصمتة: $\int_S\sigma = \int_{\bar B}\dd\sigma = n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$ .

2. $n = 2$ : $\sigma = x\,\dd y - y\,\dd x$ ؛ وعلى $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ ، $\gamma^*\sigma = (\cos^2t + \sin^2t)\,\dd t = \dd t$ ، أي صيغة طول القوس: $\int_S\sigma = 2\pi = 2\operatorname{vol}(\bar B^2)$ . و $n = 3$ : يكون $\sigma\vert_S$ صيغةَ المساحة (التمرين 21.5 مع $\nu(x) = x$ ): $\int_S\sigma = 4\pi = 3\cdot\tfrac{4\pi}3$ . وكلاهما يوافق السؤال 1.

3. باشتقاق $\norm\varphi^2 = 1$ : $2\langle D\varphi(x)h, \varphi(x)\rangle = 0$ من أجل كل $h$ ، ومنه $\operatorname{im}D\varphi(x) \subseteq \varphi(x)^\perp$ ، وهو فضاء فائق: أي $\operatorname{rk}D\varphi(x) \leq n - 1$ . وبما أن $\dd\sigma$ صيغةٌ $n$ -الخطية (السؤال 1)، يكون نقطةً نقطة $\varphi^*(\dd\sigma)_x = (D\varphi(x))^*(\dd\sigma)_{\varphi(x)} = 0$ حسب القضية 21.6(2): أي إن تطبيقًا إلى الكرة لا يجد متسعًا ليسحب عكسيًّا صيغةَ حجم.

4. الخلل في «ومن ثَمّ» الثانية: فعلى $S$ ذات البُعد $(n-1)$ ، تكون كل صيغة $(n-1)$ -الخطية مغلقة بداهةً (إذ لا توجد صيغ $n$ -الخطية غير معدومة على متنوعة ذات بُعد $(n-1)$ )، لكن المغلقة لا تعني التامة، و $\int_S\dd\eta = 0$ يتطلب دالةً أصلية فعلية $\eta$ معرَّفة على $S$ . وتضييق $\sigma$ ليس تامًّا بالضبط — إذ تكامله $n\operatorname{vol}(\bar B) \neq 0$ — وهذا اللاتمام هو ما يشغّل المسألة بأسرها.

5. سنكامل $r^*\sigma$ على الكرة السطحية ونعدّ بطريقتين. فلأن $r$ يثبّت $S$ نقطةً نقطة، يساوي التكامل $\int_S\sigma = n\operatorname{vol}(\bar B) \neq 0$ . ولأن $r$ معرَّف على الكرة المصمتة، تحوّل ستوكس التكاملَ نفسه إلى $\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) = \int_{\bar B}r^*(\dd\sigma)$ ؛ ولأن $r$ يأخذ قيمه في الكرة السطحية، يجعل السؤال 3 ذلك المقدار المكامَل منعدمًا. فعددٌ واحد بقيمتين: ومنه لا يمكن للارتداد أن يوجد.

6. يُحسب التكاملان كلاهما عبر وسطنات مباشرة $\gamma$ لقطع من $S$ (التعريف 21.18)؛ وبما أن $r\circ\gamma = \gamma$ (إذ تحطّ الوسطنة في $S$ حيث يكون $r$ المطابقة)، فإن $\gamma^*(r^*\sigma) = (r\circ\gamma)^*\sigma = \gamma^*\sigma$ (المبرهنة 21.11(a)): فتتوافق المقادير المكامَلة محليًّا، وتعطي أي تجزئة للوحدة $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ .

7. $r^*\sigma$ صيغةٌ ناعمة $(n-1)$ -الخطية على جوار للمجموعة المتراصة الموجَّهة $\bar B$ ، وحافتها بالتوجيه المستحثّ هي $S$ : فتعطي ستوكس (المبرهنة 21.23) بالضبط $\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ .

8. $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma)$ (المبرهنة 21.11(b))، وهو ينعدم حسب السؤال 3 مطبَّقًا على $\varphi = r$ . وبسلسلة الأسئلة 6–8:

0 < n\operatorname{vol}(\bar B) = \int_S\sigma = \int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) = 0 :

وهو محال. فلا يوجد أي ارتداد ناعم للكرة المصمتة $\bar B^n$ على $S^{n-1}$ (حيث $n \geq 2$ ).

9. تطبيقٌ متصل $r\colon\intcc{-1}1\to\{-1,1\}$ يحقق $r(\pm1) = \pm1$ كان سيرسل مجموعةً مترابطة على $\{-1, 1\}$ غير المترابطة، وهو مستحيل: إذ صور المجموعات المترابطة بتطبيقات متصلة مترابطة — أو، بالتكافؤ، كانت مبرهنة القيم الوسطى ستفرض على $r$ أن يأخذ القيمة $0$ . والعبارة نفسها في كل بُعد هي بالضبط الجزء الثاني؛ والترابط هو ظل العائق الكوهومولوجي $\int_S\sigma \neq 0$ في البُعد $1$ .

10. $x \mapsto \norm{g(x) - x}$ متصلة و $> 0$ في كل مكان على المتراصة $\bar B$ : فتُبلَغ أصغريتها $\delta$ ، ومنه $> 0$ .

11. يُقرأ $\norm{x + tu}^2 = 1$ على الصورة $t^2 + 2t\langle x, u\rangle + \norm x^2 - 1 = 0$ ، وجذراه

t_\pm = -\langle x, u\rangle \pm \sqrt{\langle x, u\rangle^2 + 1 - \norm x^2} .

وجداؤهما $\norm x^2 - 1 \leq 0$ : فيقع الجذران على جانبَي $0$ (أو ينعدم أحدهما)، ومنه يكون وسيط نصف المستقيم — أي الجذر غير السالب — هو $t(x) = t_+$ .

12. لو انعدم المقدار تحت الجذر عند $x \in \bar B$ : لكان حدّاه غير سالبين، ومنه $\norm x = 1$ و $\langle x, u(x)\rangle = 0$ ، أي $\langle x, x - g(x)\rangle = 0$ ، أي $\langle x, g(x)\rangle = 1$ . وبكوشي–شوارتز، $1 = \langle x, g(x)\rangle \leq \norm x\,\norm{g(x)} \leq 1$ : أي تساوٍ في كل المراحل، وهو يفرض أن يكون $g(x)$ على استقامة $x$ ، ومعياره $1$ ، وبإشارة موجبة: أي $g(x) = x$ — وهو مستبعد. ومنه يكون المقدار تحت الجذر متصلًا و $> 0$ على $\bar B$ ، ومن ثَمّ محدودًا من الأسفل بعدد $c > 0$ هناك وعلى جوار (بالاتصال المنتظم). وعلى ذلك الجوار تكون $u$ ناعمة (بتقليص $\norm{x - g(x)} \geq \delta/2$ عند الحاجة)، ويبقى المقدار تحت الجذر $\geq c/2$ ، والجذر التربيعي ناعم على $\intoo0\infty$ : ومنه يكون $r$ ناعمًا بجوار $\bar B$ .

13. $\norm{r(x)} = 1$ بحكم بناء $t(x)$ : $r(\bar B) \subseteq S$ . ومن أجل $x \in S$ : $\langle x, u(x)\rangle = \frac{1 - \langle x, g(x)\rangle}{\norm{x - g(x)}} \geq 0$ (بكوشي–شوارتز مرة أخرى)، ويرجع $\norm x = 1$ بالمقدار تحت الجذر إلى $\langle x, u\rangle^2$ ، وجذره التربيعي هو $\langle x, u\rangle$ نفسه (إذ هو $\geq 0$ ): ومنه $t(x) = 0$ و $r(x) = x$ . فيكون $r$ ارتدادًا ناعمًا للكرة المصمتة على الكرة السطحية — وهو يناقض الجزء الثاني. فلكل تطبيق ذاتي ناعم للكرة $\bar B$ نقطةٌ صامدة.

14. $\varepsilon > 0$ تمامًا كما في السؤال 10. وتشكّل كثيرات الحدود جبرًا جزئيًّا من $\mathcal C(\bar B, \R)$ يحتوي الثوابت ويفصل النقاط (إذ تفعل $x \mapsto x_i$ ذلك)، ومنه تقرّب ستون–فايرشتراس (المبرهنة 7.15) كل إحداثي: فنختار كثيرات حدود $p_i$ تحقق $\sup_{\bar B}\abs{p_i - f_i} < \frac{\varepsilon}{2\sqrt n}$ ؛ عندئذٍ يحقق التطبيق المتجهي $p = (p_1, \dots, p_n)$ أن $\sup_{\bar B}\norm{p - f} \leq \bigl(\sum_i\sup_{\bar B}\abs{p_i - f_i}^2\bigr)^{1/2} < \varepsilon/2$ .

15. على $\bar B$ : $\norm p \leq \norm f + \frac\varepsilon2 \leq 1 + \frac\varepsilon2$ ، ومنه $\norm{g} = \frac{\norm p}{1 + \varepsilon/2} \leq 1$ : أي $g(\bar B) \subseteq \bar B$ . وفوق ذلك $\norm{g - p} = \frac{\varepsilon/2}{1 + \varepsilon/2}\norm p \leq \frac\varepsilon2$ ، ومن ثَمّ $\norm{g - f} \leq \norm{g - p} + \norm{p - f} < \varepsilon$ على $\bar B$ .

16. $g$ حدودي، ومن ثَمّ ناعم، ويرسل $\bar B$ في نفسها: فيوفّر الجزء الثالث $x_0 = g(x_0)$ . عندئذٍ $\norm{f(x_0) - x_0} = \norm{f(x_0) - g(x_0)} < \varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - \operatorname{id}}$ : وهو تناقض. فلكل تطبيق متصل $\bar B^n \to \bar B^n$ نقطةٌ صامدة.

17. الكرة المفتوحة: يرسل $f(x) = \frac{x + e_1}2$ المجموعةَ $B$ في $B$ (إذ $\norm{f(x)} < 1$ تمامًا) ونقطته الصامدة الوحيدة $e_1$ تقع على الكرة السطحية: فقد فُقد التراص. والكرة السطحية: التطبيق المتقابل $x \mapsto -x$ عديم النقاط الصامدة؛ و $S$ متراصة لكن طوبولوجيتها «خاطئة» — إذ هي بالضبط اللاارتداد في الجزء الثاني. والتاج: دورانٌ بأي زاوية $\not\equiv 0$ لا يثبّت شيئًا؛ فالثقب يؤوي الدوران — وقد فُقد التحدّب (أو بدقة أكبر، الطوبولوجيا الكروية). فمبرهنة براور في الحقيقة عن المجموعات المتراصة المحدّبة، كما يستثمر السؤال 18.

18. من أجل $x \in \Delta$ : تكون $x_j > 0$ ما، ومنه $(Ax)_i \geq A_{ij}x_j > 0$ من أجل كل $i$ ؛ ومن ثَمّ $\norm{Ax}_1 > 0$ ويكون $T(x) = Ax/\norm{Ax}_1$ معرَّفًا جيدًا ومتصلًا، ويحطّ في $\Delta$ (بعناصر موجبة مجموعها $1$ ). و $\Delta$ محدّبة ومتراصة وذات داخل غير خالٍ في الفضاء الفائق التآلفي $\{\sum x_i = 1\} \cong \R^{n-1}$ ؛ والتطبيق الشعاعي من مركز ثقلها — إذ يلاقي كل نصف مستقيم من مركز الثقل $\partial\Delta$ في نقطة واحدة بالضبط، بالتحدّب والتراص، ودالة العيار الموافقة متصلة — تماثلٌ طوبولوجي $\Delta \to \bar B^{n-1}$ . وبنقل براور عبره: يقبل $T$ نقطةً صامدة $x^*$ ، أي $Ax^* = \lambda x^*$ مع $\lambda = \norm{Ax^*}_1 > 0$ ؛ و $x^* = Ax^*/\lambda$ ذو عناصر موجبة تمامًا بالحساب الافتتاحي. فلمصفوفة موجبة متجهةٌ ذاتية موجبة.

19. يعطي السؤال 18 أن $A\pi = \lambda\pi$ و $\pi \in \Delta$ و $\pi > 0$ . ونجمع الإحداثيات: $\sum_i(A\pi)_i = \sum_j\pi_j\sum_iA_{ij} = \sum_j\pi_j = 1$ (لأن مجموع الأعمدة $1$ )، بينما $\sum_i\lambda\pi_i = \lambda$ . ومنه $\lambda = 1$ و $A\pi = \pi$ : أي متجهة احتمالية ساكنة — وهي توازن سلسلة ماركوف، ونواة بيج رانك الرياضية.

20. على $S$ : $\norm{F_t(x)}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, v(x)\rangle + t^2\norm{v(x)}^2 = 1 + 0 + t^2$ بالتماس و $\norm v = 1$ : أي $F_t(S) \subseteq \sqrt{1+t^2}\,S$ .

21. نثبّت أطلسًا منتهيًا من الوسطنات المباشرة $\gamma$ وتجزئةً للوحدة، لا تتعلق بالوسيط $t$ . وفي خريطة، $F_t\circ\gamma = \gamma + t(v\circ\gamma)$ ، ومنه يكون كل معامل للصيغة $(F_t\circ\gamma)^*\sigma$ مجموعَ جداءات عاملٍ واحد $(x_i + tv_i)\circ\gamma$ (تآلفي في $t$ ) ومحدّدٍ $(n-1)\times(n-1)$ بعناصر تآلفية في $t$ : أي كثير حدود في $t$ درجته $\leq n$ بمعاملات ناعمة في متغيّر الخريطة. وبالضرب في دوال التجزئة المستقلة عن $t$ والمكاملة حدًّا حدًّا: $P(t) = \sum_{k=0}^n c_kt^k$ ، أي كثير حدود.

22. التباين: $v$ ليبشيتزية على $S$ (لأنها ناعمة على متراصة)، ولنقل بثابت $L$ ؛ فمن أجل $\abs t < 1/L$ ، $\norm{F_t(x) - F_t(y)} \geq (1 - \abs tL)\norm{x - y} > 0$ . والتماثل التفاضلي: يرسل $G_t = F_t/\sqrt{1 + t^2}$ المجموعةَ $S$ إلى $S$ ؛ وفي الخرائط تتقارب مصفوفاته الياكوبية بانتظام إلى مصفوفات $G_0 = \operatorname{id}$ حين $t \to 0$ ، ومنه تكون من أجل $t$ صغير قابلةً للقلب ويكون $G_t$ تماثلًا تفاضليًّا محليًّا (المبرهنة 20.1 في الخرائط)، ومتباينًا، بصورة مفتوحة (بالتماثل التفاضلي المحلي) ومتراصة في $S^{n-1}$ المترابطة (حيث $n \geq 2$ ): ومنه الصورة $= S$ ، فيكون $G_t$ تماثلًا تفاضليًّا للمجموعة $S$ . والتحجيم: تحت $s_\lambda(x) = \lambda x$ ، يكسب كل معامل $x_i$ العاملَ $\lambda$ ويكسب كلٌّ من التفاضلات $n - 1$ العاملَ $\lambda$ : أي $s_\lambda^*\sigma = \lambda^n\sigma$ . وبما أن $F_t = s_{\sqrt{1+t^2}}\circ G_t$ :

P(t) = \int_SG_t^*\bigl(s_{\sqrt{1+t^2}}^{\,*}\sigma\bigr) = (1 + t^2)^{n/2}\int_SG_t^*\sigma = (1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma \quad\text{من أجل قيم صغيرة من} t,

والمساواة الأخيرة بواسطة المبرهنة المساعدة 21.19 (إذ $G_t$ تماثل تفاضلي للمجموعة $S$ ، حافظٌ للتوجيه من أجل $t$ صغير: فمحددات مصفوفاته الياكوبية في الخرائط تتغيّر اتصاليًّا ولا تنعدم أبدًا وهي موجبة عند $t = 0$ ).

23. إذا كان $n$ فرديًّا ووُجد حقل مماسّ واحدي ناعم، جعل السؤالان 21 و22 كثيرَ الحدود $P(t)/\int_S\sigma$ (وهو مشروع: إذ $\int_S\sigma \neq 0$ حسب السؤال 1) يوافق $(1 + t^2)^{n/2}$ بجوار $0$ ؛ ودالتان ناعمتان تتوافقان بجوار $0$ وإحداهما كثير حدود تفرضان على $(1 + t^2)^{n/2}$ أن يكون ذلك كثير الحدود على $\R$ كله. لكن إذا كان $Q(t)^2 = (1 + t^2)^n$ مع $Q \in \R[t]$ ، أعطى التفكيك الوحيد في $\R[t]$ (الفصل 2) للمقدار غير القابل للاختزال $t^2 + 1$ ترافقًا زوجيًّا في $Q^2$ والترافقَ الفردي $n$ في $(1 + t^2)^n$ : وهو مستحيل. ومنه لا يوجد أي حقل مماسّ واحدي ناعم على $S^{n-1}$ من أجل $n$ فردي — أي على الكرات السطحية ذات البُعد الزوجي. وأخيرًا، حقلٌ مماسّ متصل فحسب وعديم الجذور $w$ كان سينتج واحدًا: فنمدّده إلى جوار بالمقدار $\tilde w(x) = w(x/\norm x)$ ، ونملّفه إحداثيًّا (المبرهنة 12.9) إلى $v_0$ ناعم يحقق $\sup_S\norm{v_0 - \tilde w} < \frac12\min_S\norm w$ ، ونسقطه مماسّيًّا $v_1(x) = v_0(x) - \langle v_0(x), x\rangle x$ — وعلى $S$ لا يغيّر هذا $v_0$ إلا بمركّبته الناظمية، وهي نفسها على الأكثر $\norm{v_0 - \tilde w}$ لأن $\tilde w$ مماسّي، ومنه $\norm{v_1 - \tilde w} \leq 2\norm{v_0 - \tilde w} < \min\norm w$ ولا ينعدم $v_1$ أبدًا على $S$ — ثم نعيّره: فيكون $v = v_1/\norm{v_1}$ حقلًا مماسًّا واحديًّا ناعمًا. ومن ثَمّ يكون لكل حقل مماسّ متصل جذرٌ على كل كرة سطحية ذات بُعد زوجي: فكل ريح على الأرض تترك نقطةً ساكنة.

24. $\langle v(x), x\rangle = \sum_j(-y_jx_j + x_jy_j) = 0$ : أي مماسّ؛ و $\norm{v(x)} = \norm x = 1$ : أي واحدي. والنعومة واضحة (لأنه تطبيق خطي). ومنه تحمل كل كرة سطحية ذات بُعد فردي حقلًا مماسًّا واحديًّا ناعمًا — أي الضرب في $\iu$ على امتداد المستقيمات العقدية — ويكون عائق السؤال 23 هو بالضبط تماثل البُعد. وفي حجة كثير الحدود، يكون المقدار $(1 + t^2)^{n/2}$ من أجل $n$ زوجي كثيرَ حدود فعلًا، فلا ينشأ أي تناقض: فالبرهان لا يخفق في الانطباق فحسب، بل نتيجته خاطئة فعلًا، كما تشهد $v$ .

25. لنفترض أن $f$ لا تنعدم أبدًا على $\bar B$ . عندئذٍ يكون $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ متصلًا $\bar B \to S \subseteq \bar B$ ، وتوفّر براور (السؤال 16) المقدارَ $x^* = g(x^*)$ . وبما أن $g$ يأخذ قيمه في $S$ ، فإن $x^* \in S$ ، و

\langle f(x^*), x^*\rangle = \bigl\langle f(x^*),\ -\tfrac{f(x^*)}{\norm{f(x^*)}}\bigr\rangle = -\norm{f(x^*)} < 0,

وهو يناقض فرضية الحافة. ومنه تقبل $f$ جذرًا. وأما الغمر: فبإعطاء $y \in \R^n$ ، نطبّق ما سبق على $f(x) = F(x) - y$ على كرة $\bar B(0, R)$ مع $R$ كبير بما يكفي بحيث $\langle F(x), x\rangle \geq \norm y\,\norm x$ على الكرة السطحية ذات نصف القطر $R$ (بالقسرية)؛ عندئذٍ $\langle f(x), x\rangle = \langle F(x), x\rangle - \langle y, x\rangle \geq 0$ هناك (بكوشي–شوارتز)، وتعطي العبارة المعادة التحجيم جذرًا للدالة $f$ : أي $F(x) = y$ . فكل حقل متصل قسري غامر — وهو الظل الخالي من الدرجة لمبرهنات الوجود التغيّرية، مسلَّمًا بواسطة الطوبولوجيا المحضة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد