Apa itu bentuk tertutup? — Matematika

Definisi 21.13 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 21 — Bentuk Diferensial dan Teorema Stokes

Bentuk $\omega \in \Omega^k(U)$ disebut tertutup jika $\dd\omega = 0$ , dan eksak jika $\omega = \dd\eta$ bagi suatu $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ (yakni sebuah primitif $\omega$ ). Eksak $\Rightarrow$ tertutup menurut $\dd^2 = 0$ ; sedangkan konversnya adalah pertanyaan tentang rupa $U$ .

Contoh

Contoh 21.14 (Bentuk sudut)

Pada $U = \R^2 \setminus \{0\}$ ,

\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}

bersifat tertutup (lewat perhitungan langsung: Latihan 21.4) tetapi tak eksak: sebab integralnya sepanjang lingkaran satuannya adalah $2\pi \neq 0$ , sedangkan integral bentuk eksak sepanjang kurva tertutup lenyap (Proposisi 21.28). Secara lokal, $\omega_\theta = \dd\theta$ bagi sembarang penentuan mulus $\theta$ atas sudut kutubnya — dari sanalah namanya dan halangannya: bahwa tak ada penentuan semacam itu pada seluruh $U$ . Satu bentuk inilah yang menjalankan bilangan lilitan (Bagian 21.6) dan, lewatnya, teorema residu Bab 17.

Baca dalam konteks →