ما معنى الأسّي العقدي لعمدة تخيلية؟

مثال 3.6 (القيم الأولى، ومتطابقة شهيرة)

بقراءة التعريف عند الزوايا الأصلية:

والثانية، إذا أُعيدت كتابتها $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$، هي متطابقة أويلر الشهيرة التي تربط $\eu$ و $\iu$ و $\pi$ و $1$ و $0$؛ وهي في هذه المرحلة من الكتاب فكُّ تعريف لا مبرهنة، أمّا مضمونها الحقيقي — أي لماذا تستحق الدالة الأسّية التحليلية في الفصل 4، ممدَّدةً إلى العمد التخيلية، الاسم نفسه — فتحسمه المتسلسلة الصحيحة في الفصل 17. وفي هذه الأثناء، يستحق العرض أعلاه أن يُحفظ بوصفه جدول تحويل: فهو يُستعمل ضمنًا كلما قُرئت عمدةٌ من رسم.

مثال 3.9 (نشر $\cos 3\theta$ بصيغة دي موافر)

نكتب $c = \cos\theta$ و $s = \sin\theta$. تعطي صيغة دي موافر ومبرهنة ثنائي الحدّ

وبمطابقة الجزأين الحقيقيين، ثم بتعويض $s^2 = 1 - c^2$:

ويعطي الجزء التخيلي $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ مجانًا: فكل متطابقة عقدية تحمل متطابقتين حقيقيتين دائمًا. والمتطابقة المؤطَّرة، مقروءةً بالمقلوب، هي مفتاح معادلة التثليث الكلاسيكية: فإنشاء $\cos(\theta/3)$ انطلاقًا من $\cos\theta$ يعني حلّ المعادلة التكعيبية $4x^3 - 3x = \cos\theta$، وهنا يتسلّم الأمر جبرُ الفصل 8.

مثال 3.13 (مجموع مثلثي ثنائي)

من أجل $n \in \N$ و $\theta \in \R$، احسب $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$. تعرّف على الجزء الحقيقي لنشر ثنائي:

ثم عمّل نصف الزاوية (الطريقة 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$، ومنه

ويعطي الجزء التخيلي $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ مجانًا. وللتحقق: $\theta = 0$ يستعيد $\sum\binom nk = 2^n$، و $\theta = \pi$ يعطي $S = 0$ من أجل $n \geq 1$ (إذ ينعدم كل عامل $\cos\frac\pi2$)، أي المجموع المتناوب لسطر المثال 2.17. والطريقة — «انظر إلى مجموع جيوب التمام بوصفه ظلًّا لقوة عقدية، ثم عمّل أنصاف الزوايا» — هي بالضبط طريقة التمرين 3.6، مع إحلال مبرهنة ثنائي الحدّ محلّ المتسلسلة الهندسية.