Wat is Complexe exponentiële van een imaginair argument?

Voorbeeld 3.6 (Eerste waarden, en één beroemde identiteit)

De definitie gelezen in de hoofdhoeken:

De tweede, herschreven als $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$, is Eulers beroemde identiteit die $\eu$, $\iu$, $\pi$, $1$ en $0$ verbindt; in dit stadium van het boek is ze eerder een definitie die zich ontrolt dan een stelling, en haar eigenlijke inhoud — waarom de analytische exponentiële functie van Hoofdstuk 4, uitgebreid tot imaginaire argumenten, dezelfde naam verdient — wordt beslecht door de machtreeksen van Hoofdstuk 17. Ondertussen is bovenstaande regel het onthouden waard als omrekentabel: ze wordt stilzwijgend gebruikt telkens als een argument van een tekening wordt afgelezen.

Voorbeeld 3.9 ($\cos 3\theta$ uitwerken met de Moivre)

Schrijf $c = \cos\theta$ en $s = \sin\theta$. De Moivre en het binomium geven

en na gelijkstellen van de reële delen en substitutie van $s^2 = 1 - c^2$:

Het imaginaire deel levert er gratis $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ bij: één complexe identiteit draagt altijd twee reële. Achterstevoren gelezen is de zojuist gevonden identiteit de sleutel tot de klassieke driedelingsvergelijking: $\cos(\theta/3)$ uit $\cos\theta$ construeren betekent de derdegraadsvergelijking $4x^3 - 3x = \cos\theta$ oplossen, en daar neemt de algebra van Hoofdstuk 8 het over.

Voorbeeld 3.13 (Een binomiale goniometrische som)

Bereken voor $n \in \N$ en $\theta \in \R$ de som $S = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \cos k\theta$. Herken het reële deel van een binomiale ontwikkeling:

en ontbind dan de halve hoek (Methode 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, zodat

Het imaginaire deel levert er gratis $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ bij. Controles: $\theta = 0$ geeft $\sum\binom nk = 2^n$ terug, en $\theta = \pi$ geeft $S = 0$ voor $n \geq 1$ (elke factor $\cos\frac\pi2$ verdwijnt), dat wil zeggen de alternerende rijsom uit Voorbeeld 2.17. De methode — “zie de cosinussom als de schaduw van een complexe macht en ontbind dan halve hoeken” — is precies die van Oefening 3.6, met het binomium in de plaats van de meetkundige reeks.