O que é Exponencial complexa de argumento imaginário?

Exemplo 3.6 (Primeiros valores, e uma identidade famosa)

Lendo a definição nos ângulos cardeais:

A segunda, reorganizada como $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$, é a célebre identidade de Euler, que liga $\eu$, $\iu$, $\pi$, $1$ e $0$; nesta altura do livro ela é uma definição sendo desenrolada, e não um teorema, e o seu verdadeiro conteúdo — por que a função exponencial analítica do Capítulo 4, estendida a argumentos imaginários, merece o mesmo nome — fica resolvido pelas séries de potências do Capítulo 17. Enquanto isso, vale memorizar o destaque acima como tabela de conversão: ele é usado silenciosamente sempre que um argumento é lido numa figura.

Exemplo 3.9 (Expandindo $\cos 3\theta$ por De Moivre)

Escreva $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$. De Moivre e o teorema binomial dão

e, identificando as partes reais e substituindo depois $s^2 = 1 - c^2$:

A parte imaginária fornece $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ de graça: uma identidade complexa carrega sempre duas identidades reais. Lida ao contrário, a identidade em destaque é a chave da clássica equação da trissecção: construir $\cos(\theta/3)$ a partir de $\cos\theta$ significa resolver a cúbica $4x^3 - 3x = \cos\theta$, e é aí que a álgebra do Capítulo 8 assume o comando.

Exemplo 3.13 (Uma soma trigonométrica binomial)

Para $n \in \N$ e $\theta \in \R$, avalie $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$. Reconheça a parte real de uma expansão binomial:

e depois fatore o arco metade (Método 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, de modo que

A parte imaginária fornece $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ de graça. Verificações de sanidade: $\theta = 0$ recupera $\sum\binom nk = 2^n$, e $\theta = \pi$ dá $S = 0$ para $n \geq 1$ (cada fator $\cos\frac\pi2$ se anula), isto é, a soma alternada de uma linha do Exemplo 2.17. O método — “ver a soma de cossenos como a sombra de uma potência complexa e depois fatorar arcos metade” — é exatamente o do Exercício 3.6, com o teorema binomial no lugar da série geométrica.