¿Qué es Exponencial compleja de argumento imaginario?

Ejemplo 3.6 (Primeros valores, y una identidad célebre)

Leyendo la definición en los ángulos notables:

La segunda, reescrita como $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$, es la célebre identidad de Euler, que enlaza $\eu$, $\iu$, $\pi$, $1$ y $0$; a esta altura del libro es un desarrollo de la definición más que un teorema, y su contenido real — por qué la función exponencial analítica del Capítulo 4, extendida a argumentos imaginarios, merece el mismo nombre — lo zanjan las series de potencias del Capítulo 17. Entretanto, conviene memorizar la fórmula anterior como tabla de conversión: se usa en silencio cada vez que se lee un argumento en un dibujo.

Ejemplo 3.9 (Desarrollo de $\cos 3\theta$ por De Moivre)

Escríbase $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$. De Moivre y el teorema del binomio dan

e igualando partes reales y sustituyendo después $s^2 = 1 - c^2$:

La parte imaginaria da gratis $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$: una identidad compleja arrastra siempre dos reales. Leída al revés, la identidad anterior es la clave de la clásica ecuación de la trisección: construir $\cos(\theta/3)$ a partir de $\cos\theta$ equivale a resolver la cúbica $4x^3 - 3x = \cos\theta$, que es donde toma el relevo el álgebra del Capítulo 8.

Ejemplo 3.13 (Una suma trigonométrica binomial)

Para $n \in \N$ y $\theta \in \R$, calcúlese $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$. Reconózcase la parte real de un desarrollo binomial:

y factorícese después el ángulo mitad (Método 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, luego

La parte imaginaria da gratis $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$. Comprobaciones: $\theta = 0$ recupera $\sum\binom nk = 2^n$, y $\theta = \pi$ da $S = 0$ para $n \geq 1$ (cada factor $\cos\frac\pi2$ se anula), es decir, la suma alternada de una fila del Ejemplo 2.17. El método —«ver la suma de cosenos como la sombra de una potencia compleja y factorizar después ángulos mitad»— es exactamente el del Ejercicio 3.6, con el teorema del binomio en lugar de la serie geométrica.