काल्पनिक प्रांतिक का सम्मिश्र चरघातांकी क्या है?

उदाहरण 3.6 (पहले मान, और एक प्रसिद्ध सर्वसमिका)

मुख्य कोणों पर परिभाषा पढ़ने से:

इनमें दूसरी, $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\eu$, $\iu$, $\pi$, $1$ और $0$ को जोड़ने वाली ऑयलर की प्रसिद्ध सर्वसमिका है; पुस्तक के इस पड़ाव पर वह प्रमेय से अधिक एक परिभाषा का खुलना है, और उसकी असली सामग्री — अध्याय 4 का विश्लेषणात्मक चरघातांकी फलन, काल्पनिक प्रांतिकों तक विस्तारित होकर, उसी नाम का अधिकारी क्यों है — अध्याय 17 की घात श्रेणी से तय होती है। इस बीच ऊपर का प्रदर्शन एक रूपांतरण-सारणी के रूप में कंठस्थ करने योग्य है: जब भी चित्र से कोई कोणांक पढ़ा जाता है, वह मौन रूप से प्रयुक्त होता है।

उदाहरण 3.9 (दे मॉयवर से $\cos 3\theta$ का प्रसार)

$c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$ लिखिए। दे मॉयवर और द्विपद प्रमेय देते हैं

और वास्तविक भागों की पहचान करके, फिर $s^2 = 1 - c^2$ प्रतिस्थापित करके:

काल्पनिक भाग $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ मुफ़्त में दे देता है: एक सम्मिश्र सर्वसमिका सदा दो वास्तविक सर्वसमिकाएँ साथ लाती है। उलटी दिशा में पढ़ने पर, बॉक्स वाली सर्वसमिका चिरपरिचित त्रिभाजन समीकरण की कुंजी है: $\cos\theta$ से $\cos(\theta/3)$ की रचना का अर्थ है त्रिघात $4x^3 - 3x = \cos\theta$ हल करना, और वहीं से अध्याय 8 का बीजगणित काम सँभाल लेता है।

उदाहरण 3.13 (एक द्विपद त्रिकोणमितीय योग)

$n \in \N$ और $\theta \in \R$ के लिए $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$ का मान निकालिए। उसमें द्विपद प्रसार का वास्तविक भाग पहचानिए:

फिर अर्ध-कोण गुणनखंडन (विधि 3.11 (4)) कीजिए: $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, अतः

काल्पनिक भाग $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ मुफ़्त में दे देता है। जाँच: $\theta = 0$ से $\sum\binom nk = 2^n$ वापस मिलता है, और $\theta = \pi$ से $n \geq 1$ के लिए $S = 0$ मिलता है (प्रत्येक गुणनखंड $\cos\frac\pi2$ लुप्त हो जाता है), अर्थात् उदाहरण 2.17 का एकांतरित पंक्ति-योग। यह विधि — “कोज्या के योग को किसी सम्मिश्र घात की छाया के रूप में देखिए, फिर अर्ध-कोण गुणनखंडन कीजिए” — ठीक अभ्यास 3.6 वाली है, बस गुणोत्तर श्रेणी की जगह द्विपद प्रमेय आ जाता है।