Qu'est-ce que « Exponentielle complexe d’un argument imaginaire pur » ?

Exemple 3.6 (Premières valeurs, et une identité célèbre)

En lisant la définition aux angles remarquables :

La deuxième, réécrite $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$, est la célèbre identité d’Euler reliant $\eu$, $\iu$, $\pi$, $1$ et $0$ ; à ce stade du livre, c’est un déroulement de la définition plutôt qu’un théorème, et son véritable contenu — pourquoi la fonction exponentielle analytique du Chapitre 4, prolongée aux arguments imaginaires, mérite le même nom — sera réglé par les séries entières du Chapitre 17. En attendant, la formule ci-dessus mérite d’être sue par cœur comme table de conversion : on l’utilise silencieusement chaque fois qu’un argument se lit sur une figure.

Exemple 3.9 (Développement de $\cos 3\theta$ par de Moivre)

Posons $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$. La formule de de Moivre et le binôme de Newton donnent

et, en identifiant les parties réelles puis en substituant $s^2 = 1 - c^2$ :

La partie imaginaire fournit gratuitement $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ : une identité complexe en porte toujours deux réelles. Lue à l’envers, l’identité obtenue est la clé de l’équation classique de la trisection : construire $\cos(\theta/3)$ à partir de $\cos\theta$ revient à résoudre l’équation du troisième degré $4x^3 - 3x = \cos\theta$, où l’algèbre du Chapitre 8 prend le relais.

Exemple 3.13 (Une somme trigonométrique binomiale)

Pour $n \in \N$ et $\theta \in \R$, calculons $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$. On y reconnaît la partie réelle d’un développement du binôme :

puis on factorise par l’angle moitié (Méthode 3.11 (4)) : $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, d’où

La partie imaginaire fournit gratuitement $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$. Vérifications : $\theta = 0$ redonne $\sum\binom nk = 2^n$, et $\theta = \pi$ donne $S = 0$ pour $n \geq 1$ (chaque facteur $\cos\frac\pi2$ s’annule), c’est-à-dire la somme alternée d’une ligne du triangle de Pascal (Exemple 2.17). La méthode — « voir la somme de cosinus comme l’ombre d’une puissance complexe, puis factoriser par l’angle moitié » — est exactement celle de l’Exercice 3.6, le binôme de Newton remplaçant la série géométrique.