الرياضيات الجامعية — السنة 1 · السنة الجامعية 1

8كثيرات الحدود

كثيرات الحدود هي دوال الجبريّ المفضلة — إلا أنها لا تُعامَل هنا بوصفها دوالّ، بل بوصفها عبارات صورية في مجهول $X$ ، تُجمع وتُضرب بقواعد حلقة تبديلية. وتجري النظرية موازيةً على نحو لافت لما في الفصل 6: قسمة إقليدية، وقاسم مشترك أكبر وعلاقات بيزو، وعناصر لا تتجزأ ووحدانية التفكيك. وفي كل ما يلي، يرمز $K$ إلى $\Q$ أو $\R$ أو $\C$ .

8.1 الحلقة $K[X]$

تعريف 8.1 (كثير الحدود، الدرجة)

كثير الحدود ذو المعاملات في $K$ مجموعٌ صوريّ

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

حيث $a_k \in K$ معدومة كلها ابتداءً من دليل ما. ومع الجمع الطبيعي والجداء

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

تكون المجموعة $K[X]$ حلقةً تبديلية. ودرجة $\deg P$ لكثير الحدود $P \neq 0$ هي أكبر $n$ يحقق $a_n \neq 0$ ؛ ويكون $a_n$ المعامل المهيمن (ويكون $P$ واحديًا عندما $a_n = 1$ )، ونصطلح على $\deg 0 = -\infty$ . ويعرّف كل كثير حدود دالةً $x \mapsto P(x)$ على $K$ بالتعويض.

قضية 8.2 (قواعد الدرجة؛ الحلقة التامة)

من أجل $P, Q \in K[X]$ :

\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q .

ومنه فإن $K[X]$ حلقة تامة، وعناصرها القابلة للقلب هي الثوابت غير المعدومة.

برهان. قاعدة المجموع بيّنة (فالمعاملات بعد الأكبر تنعدم). وأمّا الجداء، فليكن $a_m$ و $b_n$ المعاملين المهيمنين: يكون معامل $X^{m+n}$ في $PQ$ هو $a_m b_n \neq 0$ (فإن $K$ حقل، فهو إذن حلقة تامة)، وتنعدم كل المعاملات الأعلى. وإذا كان $P, Q \neq 0$ فإن $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$ ، ومنه $PQ \neq 0$ : أي حلقة تامة. وإذا كان $PQ = 1$ فإن $\deg P + \deg Q = 0$ يفرض $\deg P = \deg Q = 0$ : فالعناصر القابلة للقلب هي الثوابت القابلة للقلب، أي كل $K^*$ . ∎

مبرهنة 8.3 (القسمة الإقليدية)

ليكن $A, B \in K[X]$ حيث $B \neq 0$ . يوجد زوج واحد بالضبط $(Q, R)$ من كثيرات الحدود يحقق

A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B .

برهان. الوجود، بالاستقراء القوي على $\deg A$ . إذا كان $\deg A < \deg B$ فخذ $(Q, R) = (0, A)$ . وإلا فاكتب $A = a X^m + \dots$ و $B = b X^n + \dots$ مع $m \geq n$ ؛ فيكون لكثير الحدود $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ درجةٌ $< m$ (إذ تختصر الحدود المهيمنة)، ومنه بالاستقراء $A_1 = BQ_1 + R$ مع $\deg R < \deg B$ ، و $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$ .

الوحدانية: إذا كان $BQ + R = BQ' + R'$ فإن $B(Q - Q') = R' - R$ مع $\deg(R' - R) < \deg B$ ؛ وبقاعدة الدرجة يفرض هذا $Q - Q' = 0$ ، ثم $R = R'$ . ∎

مثال 8.4

اقسم $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ على $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(والحساب: اطرح $X^2 B$ ، ثم $X B$ ، ثم $-B$ ؛ فالباقي $-3X + 2$ درجته $1 < 2$ .)

طريقة 8.5 (خوارزمية هورنر)

لحساب قيمة $P = a_nX^n + \dots + a_0$ عند $x$ ، أو لقسمة $P$ على $X - x$ ، تجنّب حساب القوى: اقرأ المعاملات من اليسار إلى اليمين، وكرّر اضرب في $x$ ثم أضف المعامل التالي:

b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) .

عندئذ $b_0 = P(x)$ ، وتكون $b_k$ السابقة معاملات خارج القسمة: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (انشر وقارن). مثال: $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ عند $x = 2$ : تكون قيم $b$ هي $1, -3, 0, 4, 0$ ، ومنه $P(2) = 0$ و $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — أي سطر واحد بدل قسمة طويلة، و $n$ عملية ضرب بدل $\approx n^2/2$ في الحساب الساذج. وتكرار الخوارزمية عند النقطة نفسها يستخرج التضاعفات (قارن المثال 8.12).

ملاحظة 8.6 (حساب الحلقة $K[X]$ )

بامتلاك القسمة الإقليدية، ينتقل حساب الفصل 6 كله إلى $K[X]$ ، بالبراهين نفسها، مع قيام الدرجة بدور القيمة المطلقة: القاسم المشترك الأكبر (مسوًّى ليكون واحديًا)، وخوارزمية إقليدس الممدَّدة، ومتطابقة بيزو، ومبرهنة غاوس المساعدة، وكثيرات الحدود التي لا تتجزأ ووحدانية التفكيك. ونستعمل هذه النتائج المنقولة بحرية، ويعيد التمرين 8.6 إجراء إحداها.

8.2 الجذور

مبرهنة 8.7 (مبرهنة العامل)

ليكن $P \in K[X]$ و $a \in K$ . باقي قسمة $P$ على $X - a$ هو الثابت $P(a)$ . وبوجه خاص

P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P .

وبعمومية أكبر، تعطي الجذور المتمايزة $a_1, \dots, a_r$ للعدد $P$ التعميلَ $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$ .

برهان. اقسم: $P = (X - a) Q + R$ مع $\deg R < 1$ ، فيكون $R$ ثابتًا $c$ ؛ وبتعويض $X = a$ (فالتعويض يحترم المجاميع والجداءات) نجد $P(a) = c$ . ومنه ينتج التكافؤ. وأمّا من أجل عدة جذور، فاستقرِ على $r$ : فالحالة $r = 1$ هي التكافؤ المبرهن عليه للتوّ. ولنفترض العبارة صحيحة من أجل $r - 1$ جذرًا وليكن $a_1, \dots, a_r$ جذورًا متمايزة للعدد $P$ . اكتب $P = (X - a_1)Q_1$ ؛ ومن أجل كل $i \geq 2$ ، بتعويض $a_i$ :

0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 ,

وبما أن $K$ بلا قواسم للصفر، يكون $Q_1(a_i) = 0$ : فالنقاط المتمايزة $a_2, \dots, a_r$ التي عددها $r - 1$ جذورٌ للعدد $Q_1$ . ويعمّل فرض الاستقراء $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$ ، وبالتعويض من جديد نحصل على الدعوى. ∎

نتيجة 8.8 (لكثير حدود من الدرجة $n$ عدد جذور لا يفوق $n$ )

لكثير الحدود غير المعدوم $P \in K[X]$ من الدرجة $n$ عددُ جذور متمايزة في $K$ لا يفوق $n$ . ومنه فإن كثير الحدود (من الدرجة $\leq n$ ) الذي ينعدم عند $n + 1$ نقطة متمايزة هو كثير الحدود المعدوم، وكثيرَي حدود من الدرجة $\leq n$ يتوافقان عند $n+1$ نقطة متساويان.

برهان. إذا كانت $a_1, \dots, a_r$ جذورًا متمايزة فإن المبرهنة 8.7 يعطي $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$ ، ومنه $n = \deg P \geq r$ . وتنتج النتيجتان بالخلف وبأخذ الفرق. ∎

مثال 8.9 (حيلة كثير الحدود المساعد)

ليكن $P$ كثير الحدود من الدرجة $\leq n$ الذي يحقق

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

وهو موجود ووحيد بمقايسة لاغرانج أدناه. فما $P(n+1)$ ؟ أزل المقامات: فكثير الحدود $Q = (X+1)P - X$ درجته $\leq n + 1$ وينعدم عند النقاط $n + 1$ التي هي $0, 1, \dots, n$ ، ومنه حسب المبرهنة 8.7

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

من أجل ثابت $c$ ما. واحسب حيث يكون $Q$ معلومًا باستقلال: عند $X = -1$ ، $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ ، بينما يساوي الجداء $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ؛ ومنه $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . والآن احسب عند $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

ومنه $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : أي يساوي $1$ من أجل $n$ الفرديّ، و $\frac{n}{n+2}$ من أجل $n$ الزوجيّ — فكثير الحدود المقايس لا يواصل النمط $\frac{n+1}{n+2}$ . والحيلة الجديرة بالتذكر: رمّز المعطيات في صورة جذور لكثير حدود مساعد، وعيّن الثابت المجهول عند نقطة خارج المعطيات، ثم اجنِ الثمار.

تعريف 8.10 (المشتقة، التضاعف)

المشتقة الصورية لكثير الحدود $P = \sum a_k X^k$ هي $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$ ؛ وهي تحقق القاعدتين المعتادتين $(P+Q)' = P' + Q'$ و $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (ويُتحقَّق منهما على الحدّانيات ثم تُمدَّدان بالخطية). ويكون للجذر $a$ لكثير الحدود $P$ تضاعف $m \geq 1$ عندما يكون $(X-a)^m \mid P$ و $(X-a)^{m+1} \nmid P$ ؛ ويكون الجذر بسيطًا إذا كان $m = 1$ ، ومضاعفًا إذا كان $m \geq 2$ .

قضية 8.11 (التضاعف عبر المشتقات)

يكون $a$ جذرًا لكثير الحدود $P$ تضاعفه $\geq m$ إذا وفقط إذا كان

P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 .

وبوجه خاص، يكون $a$ جذرًا مضاعفًا لكثير الحدود $P$ إذا وفقط إذا كان $P(a) = P'(a) = 0$ .

برهان. اكتب $P = (X - a)^m Q + R$ حيث $R$ باقي القسمة على $(X-a)^m$ و $\deg R < m$ . وباشتقاق $k \leq m - 1$ مرة ثم الحساب عند $a$ : يسهم الحدّ الأول بالمقدار $0$ (فكل مشتقة تحتفظ بعامل $(X-a)$ )، ومنه $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$ .

والآن، كثير الحدود $R$ من الدرجة $< m$ محدَّد بالقيم $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$ : فبكتابة $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (وهذا ممكن: انشر قوى $X = (X - a) + a$ )، نجد $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$ . ومنه: تكون كل $P^{(k)}(a) = 0$ من أجل $k < m$ $\iff$ تكون كل $c_k = 0$ $\iff$ يكون $R = 0$ $\iff$ يكون $(X-a)^m \mid P$ . ∎

مثال 8.12 (حساب تضاعف)

ما تضاعف الجذر $2$ في $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ ؟ احسب المشتقات المتتالية عند $2$ :

P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0,

P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0

(مع $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$ و $P'' = 12X^2 - 30X + 12$ و $P''' = 24X - 30$ ). ثلاث قيم معدومة ثم قيمة غير معدومة: أي تضاعف يساوي $3$ بالضبط. وبالقسمة، $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — ويُتحقَّق من ذلك بنشر $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ و الضرب في $X + 1$ . والفكرة النافذة: تُقرأ التضاعفات من الحسابات، دون حاجة إلى تعميل — وهذا بالضبط كيف نكشفها عندما يكون التعميل بعيد المنال.

مثال 8.13 (كشف الجذور المضاعفة بقاسم مشترك أكبر)

عندما لا يُعرف أيّ جذر، تظلّ القضية 8.11 تعطي كاشفًا إجماليًا للجذور المضاعفة: فيكون $a$ جذرًا مضاعفًا للمقدار $P$ إذا وفقط إذا كان جذرًا مشتركًا للمقدار $P$ و $P'$ ، ومنه فلكثير الحدود $P$ جذر مضاعف (في $\C$ ) إذا وفقط إذا كان $\gcd(P, P') \neq 1$ — وهو قابل للحساب بخوارزمية إقليدس دون حلّ أيّ شيء. مثال: $P = X^3 - 3X + 2$ و $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . وبتجريب جذرَي $P'$ اللذين هما $\pm1$ داخل $P$ : $P(1) = 0$ لكن $P(-1) = 4$ ، ومنه

\gcd(P, P') = X - 1 :

فالجذر $1$ مضاعف؛ وبالقسمة مرتين، $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . بل إن القاسم المشترك الأكبر يفيد بمجموعة الجذور المضاعفة كاملةً، كلٌّ منها بتضاعف منقوص بواحد — وهي الواقعة التي يستثمرها كل نظام جبر حاسوبي «للتعميل الخالي من المربعات» قبل أيّ مطاردة للجذور، وهي التوأم الكثيرحدودي لحجج التمرين 8.9 في نفي الجذور المضاعفة.

مبرهنة 8.14 (المبرهنة الأساسية في الجبر)

لكل كثير حدود غير ثابت من $\C[X]$ جذرٌ في $\C$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 8.15

رغم اسمها، المبرهنة عبارةُ تحليل: فكل برهان معروف لها يستعمل تمام $\R$ في صورة ما، ولا يكون أيٌّ منها جبريًا خالصًا — والبرهان الأمين يُعطى في مجلد السنة 3، بمجرد أن يتوفر التكامل العقدي أو حجج التراص. أمّا ما يبرهن عليه هذا الفصل حقًّا فهو الردّ: فبمنح جذر واحد لكل كثير حدود غير ثابت، ينتج التعميلان الكاملان فوق $\C$ و $\R$ أدناه بالجبر الخالص.

نتيجة 8.16 (التعميل فوق $\C$ وفوق $\R$ )

كل $P \in \C[X]$ غير معدوم يُعمَّل هكذا

$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$

حيث $c$ المعامل المهيمن و $a_i$ الجذور العقدية المتمايزة و $\sum m_i = \deg P$ : أي أن لكثير حدود من الدرجة $n$ ، بالعدّ مع التضاعف، $n$ جذرًا عقديًا بالضبط.
كل $P \in \R[X]$ غير معدوم يُعمَّل فوق $\R$ هكذا

$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$

وتكون العوامل من الدرجة الثانية متمايزة مع $p_j^2 - 4q_j < 0$ (أي بلا جذور حقيقية).

برهان. (1) بالاستقراء على الدرجة، بفصل جذر في كل مرة حسب المبرهنة 8.7؛ ويتطابق عدّ الدرجات في كل خطوة.

(2) ليكن لكثير الحدود $P$ معاملات حقيقية. إذا كان $z$ جذرًا عقديًا تضاعفه $m$ ، فكذلك $\conj z$ : إذ إن مرافقة $P(z) = 0$ تعطي $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (فالمعاملات مرافقات أنفسها)، والأمر نفسه ينطبق على المشتقات (القضية 8.11). وبتجميع الجذور غير الحقيقية في أزواج مترافقة، يسهم كل زوج بالمقدار

(X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 ,

وهو كثير حدود حقيقي من الدرجة الثانية بمميّز سالب. وتسهم الجذور الحقيقية بالعوامل من الدرجة الأولى. ∎

مثال 8.17

عُمِّل $X^4 + 4$ فوق $\R$ في التمرين 3.5 بازدواج الجذور العقدية الأربعة $\pm 1 \pm \iu$ : $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ . ولا ينشقّ أيٌّ من كثيرَي الحدود من الدرجة الثانية فوق $\R$ (فمميّزاهما $-4$ ). ولاحظ: أن كثير الحدود الحقيقي الذي لا يتجزأ درجته $1$ أو $2$ — وهذا بالضبط ما تقوله مبرهنة التعميل. وبإجراء ازدواج المرافقات نفسه على $X^4 + 1$ ، وجذوره $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ و $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ : يسهم كل زوج بالمقدار $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ ، ومنه

X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) ,

وهي متطابقة غير مرئية لمحاولات التعميل الساذجة فوق $\Q$ — وهي ثمن الإصرار على معاملات حقيقية (بل صمّاء هنا)، ومدخل معياريّ لمكاملة $\frac1{x^4 + 1}$ في الفصل 15.

كثير حدود تشيبيشيف T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X على ∈tcc-11: فهو يتذبذب بين -1 و 1 بالضبط، ملامسًا الحاصرين عند ستّ نقاط (مؤشَّرة). وهذا التذبذب المتساوي هو ما يجعل 2-4T_5 كثير الحدود الواحديّ من الدرجة الخامسة الأصغر معيارًا أعلى على المجال ( ومسألة نهاية الأسبوع). — كثير حدود تشيبيشيف $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ على $\intcc{-1}1$ : فهو يتذبذب بين $-1$ و $1$ بالضبط، ملامسًا الحاصرين عند ستّ نقاط (مؤشَّرة). وهذا *التذبذب المتساوي* هو ما يجعل $2^{-4}T_5$ كثير الحدود الواحديّ من الدرجة الخامسة الأصغر معيارًا أعلى على المجال (التمرين 8.10 ومسألة نهاية الأسبوع).

ملاحظة 8.18 (مزالق شائعة مع كثيرات الحدود)

كثير الحدود في مقابل الدالة. فوق $K = \Q, \R, \C$ يتطابق المفهومان (فالدالتان المتساويتان لهما المعاملات نفسها، حسب النتيجة 8.8 ولكون $K$ لا نهائية)، لكن كثير الحدود مفهوميًا هو قائمة معاملاته: ففوق الحقل ذي العنصرين $\Z/2\Z$ في الفصل 7، ينعدم $X^2 + X$ عند النقطتين، ومع ذلك ليس كثير الحدود المعدوم.
الدرجات عند الجمع. قد تهبط $\deg(P + Q)$ دون $\max(\deg P, \deg Q)$ عندما تختصر الحدود المهيمنة؛ فكتابة « $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ » لا تسلم إلا من أجل درجتين متمايزتين.
عدّ الجذور عدًّا صحيحًا. عبارة « $n$ جذرًا» في النتيجة 8.16 تعني مع التضاعف، في $\C$ : فللمقدار $X^2 + 1$ لا جذور حقيقية، و للمقدار $(X-1)^2$ جذر متمايز واحد لكن جذران مع التضاعف. والعبارات التي تخلط بين العدّات الثلاث أشيع مصادر البراهين الخاطئة.
عدم التجزؤ يتعلق بالحقل. فإن $X^2 - 2$ لا يتجزأ فوق $\Q$ ، وينشقّ فوق $\R$ ؛ و $X^2 + 1$ لا يتجزأ فوق $\R$ ، وينشقّ فوق $\C$ . فكلمة «لا يتجزأ» وحدها لا تعني شيئًا حتى يُسمّى حقل المعاملات.

8.3 المعاملات والجذور

مبرهنة 8.19 (صيغ فييت)

ليكن $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ واحديًا وجذوره $a_1, \dots, a_n \in \C$ (مع التضاعف). عندئذ

\sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 ,

وتكون الدالة المتناظرة ذات الرتبة $k$ للجذور مساويةً $(-1)^k c_{n-k}$ .

برهان. حسب النتيجة 8.16، $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ (فهو واحديّ وكل الجذور مسرودة). ونشر الجداء توزيعيًا يُنتج حدًّا واحدًا لكل طريقة لاختيار، في كل عامل، إمّا $X$ وإمّا حدّ الجذر $-a_i$ : فاختيار الجذور في العوامل المفهرسة بالمقدار $i_1 < \dots < i_k$ واختيار $X$ في العوامل $n - k$ الأخرى يسهم بالمقدار $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$ . وبالتجميع بحسب قوة $X$ :

P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} ,

وبالمطابقة مع $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (فالمعاملات وحيدة، التعريف 8.1) نجد $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$ ، أي $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$ ، حيث يرمز $\sigma_k$ إلى الدالة المتناظرة ذات الرتبة $k$ المعروضة أعلاه. والحالات الثلاث المعروضة هي $k = 1$ و $k = 2$ و $k = n$ . ∎

مثال 8.20

من أجل المعادلة من الدرجة الثانية $X^2 - sX + p$ : مجموع الجذرين $s$ وجداؤهما $p$ — وقد استُعمل ذلك مرارًا (التمرين 3.8). ومن أجل كثير حدود واحديّ من الدرجة الثالثة $X^3 + aX^2 + bX + c$ جذوره $\alpha, \beta, \gamma$ :

\alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c ,

وهذا يتيح حساب مقادير متناظرة مثل $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ دون حلّ.

مثال 8.21 (تحويل الجذور دون إيجادها)

ليكن $\alpha, \beta$ جذرَي $X^2 - 3X + 1$ . فأيّ كثير حدود واحديّ من الدرجة الثانية جذراه $\alpha^2, \beta^2$ ؟ حسب صيغ فييت، $\alpha + \beta = 3$ و $\alpha\beta = 1$ ، ومنه

\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 :

فالجواب هو $X^2 - 7X + 1$ — وقد حُصل عليه دون حساب $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$ . (وللتحقق: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$ وبالفعل $\alpha^2 + \beta^2 = 7$ .) والاستراتيجية نفسها تعالج المقلوبات (التحويلات من نمط $X^2 - \frac ba X + \frac ca$ ) والانسحابات وأيّ معطيات متناظرة: فصيغ فييت تحوّل الأسئلة عن الجذور المجهولة إلى جبر على المعاملات المعلومة. وستفيد باستمرار عندما تكون الجذور قيمًا ذاتية (الفصل 22).

مثال 8.22 (المعادلات الطردية العكسية)

حُلَّ $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$ . المعاملات تُقرأ كما هي في الاتجاهين، ومنه فإن $0$ ليس جذرًا والقسمة على $X^2$ لا تفقد أيّ حلّ:

X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 .

ضع $y = X + \frac1X$ : عندئذ $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$ ، و تنهار المعادلة إلى

y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 .

وافتح كل قيمة عبر $X^2 - yX + 1 = 0$ : فمن أجل $y = 2$ ، تعطي $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ الجذرَ المضاعف $1$ ؛ ومن أجل $y = -3$ ، تعطي $X^2 + 3X + 1 = 0$ الجذرين $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$ . أي أربعة جذور مع التضاعف من أجل معادلة من الدرجة الرابعة، كما تقتضيه النتيجة 8.16 — وقد حُصل عليها بحلّ معادلتين من الدرجة الثانية. والحيلة تشمل كل كثير حدود طرديّ عكسيّ: فجذوره تأتي في أزواج مقلوبة $\{x, 1/x\}$ (عوّض $X$ بالمقدار $1/X$ وأزل المقامات)، والمقدار $y = X + \frac1X$ هو بالضبط المقدار الثابت على أزواج كهذه، فينصّف الدرجة.

مبرهنة 8.23 (مقايسة لاغرانج)

لتكن $x_0, \dots, x_n$ نقاطًا متمايزة من $K$ ولتكن $y_0, \dots, y_n \in K$ . يوجد $P \in K[X]$ واحد بالضبط من الدرجة $\leq n$ يحقق $P(x_i) = y_i$ لكل $i$ ، وهو

P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} .

برهان. لكل $L_i$ درجةٌ $n$ ويحقق $L_i(x_i) = 1$ و $L_i(x_j) = 0$ من أجل $j \neq i$ (إذ ينعدم كل عامل عند $x_j$ المقابل). ومنه فإن $P$ المعروض درجته $\leq n$ ويقايس. وأمّا الوحدانية: فكثيرا حدود مقايسين من الدرجة $\leq n$ يتوافقان عند النقاط $n+1$ التي هي $x_i$ ، فهما إذن متساويان (النتيجة 8.8). ∎

ملاحظة 8.24 (استراحة: كثيرات الحدود متجهات كذلك)

تغييرُ منظور سيجعله الفصل 18 رسميًا: كثيرات الحدود من الدرجة $\leq n$ تكوّن فضاءً يسلك فيه الجمع والضرب السلّمي سلوك الإحداثيات تمامًا — فكثير الحدود هو قائمة معاملاته $n + 1$ . وثلاث عبارات من هذا الفصل هي جبر خطيّ مستتر. فمقايسة لاغرانج (المبرهنة 8.23) تقول إن معطيات الحساب $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ تحدّد $P$ تحديدًا وحيدًا: فالحساب عند $n + 1$ نقطة تقابلٌ خطيّ، وتكون $L_i$ الأساس المكيَّف له. والنشر $R = \sum c_k(X - a)^k$ في برهان القضية 8.11 يقول إن قوى $(X - a)$ تكوّن نسق إحداثيات آخر، مع $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ إحداثيات. و النتيجة 8.8 — أي أن جذورًا أكثر من الدرجة تفرض كثير الحدود المعدوم — هي محرك كل وحدانية: وستصير «تطبيق خطيّ متباين على فضاء بُعده $n + 1$ » في الفصل 19. وعندما تأتي تلك الفصول، سيكون الفضاء $K_n[X]$ مثالها المفضل؛ ويجدر بلوغها متقنًا له سلفًا.

ملاحظة 8.25 (أين يُستعمل هذا الفصل)

التعميل فوق $\R$ و $\C$ (النتيجة 8.16) هو محرك الكسور الجزئية في الفصل 9، ومنه محرك صنف واسع من التكاملات في الفصل 15. ونشر كثير الحدود بقوى $(X - a)$ ، الذي قوبل في برهان القضية 8.11، هو الظلّ الجبري لصيغ تايلور في الفصل 16. وقد ظهرت كثيرات الحدود المميِّزة سلفًا من أجل المعادلات التفاضلية (الفصل 5) وتعود من أجل المصفوفات في الفصل 22؛ ومقايسة لاغرانج هي أول مبرهنة وجود ووحدانية في التحليل العددي، وتقول كثيرات حدود تشيبيشيف في التمرين 8.10 — التي ترسي مسألة نهاية الأسبوع أدناه أمثليتها — لذلك الاختصاص أين يقايس. وأخيرًا فإن حساب $K[X]$ كله، المنسوخ من الفصل 6، يغذّي دراسة مثاليات $K[X]$ وحلقات القسمة في مجلد السنة 2.

8.4 تمارين

تمرين 8.1 ★

أجرِ القسمتين الإقليديتين: $X^5 - 1$ على $X^2 + X + 1$ ؛ ثم $2X^4 + X^3 - X + 3$ على $X^2 - 2$ .

حل

حل التمرين 8.1.

$X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$ . والخطوات: اطرح $X^3 B$ ، ثم $-X^2 B$ ، ثم $B$ ؛ فالباقي $-X - 2$ درجته $1 < 2$ . وللتحقق عند $X = 1$ : $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$ .

$2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$ . وللتحقق عند $X = 0$ : $\;3 = (-2)(4) + 11$ .

تمرين 8.2 ★

من أجل أيّ $n \in \N$ يقسم $X^2 + X + 1$ المقدارَ $X^{2n} + X^n + 1$ ؟ إرشاد: جذرا $X^2 + X + 1$ هما $j$ و $j^2$ حيث $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ؛ وناقش $n$ بترديد $3$ .

حل

حل التمرين 8.2.

$X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ حيث $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ و $j^3 = 1$ . وهو يقسم $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ إذا وفقط إذا كان $j$ و $j^2$ جذرين للمقدار $Q_n$ ؛ وبما أن معاملات $Q_n$ حقيقية، فإن $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$ ، ومنه فالشرط هو $Q_n(j) = 0$ لا غير. والآن يتعلق $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ بقيمة $n$ بترديد $3$ :

$n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ؛
$n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ؛
$n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ .

ومنه $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ تحديدًا عندما $3 \nmid n$ .

تمرين 8.3 ★

عيّن العددين الحقيقيين $a, b$ بحيث يقسم $(X-1)^2$ المقدارَ $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$ ، ثم عمّل $P$ فوق $\R$ من أجل هاتين القيمتين.

حل

حل التمرين 8.3.

حسب القضية 8.11، يكون $(X-1)^2 \mid P$ إذا وفقط إذا كان $P(1) = P'(1) = 0$ :

P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 .

وبالحلّ: $b = -a - 2$ و $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$ ، ومنه $a = 0$ و $b = -2$ : أي $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$ ، وهو التعميل الحقيقي.

تمرين 8.4 ★

عمّل فوق $\C$ وفوق $\R$ : $X^3 - 1$ ؛ و $\;X^4 + X^2 + 1$ ؛ و $\;X^6 - 1$ .

حل

حل التمرين 8.4.

$X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ فوق $\C$ (حيث $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ )، و $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ فوق $\R$ .

$X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ فوق $\R$ (انشر الجداء، أو لاحظ $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$ )؛ وفوق $\C$ ينشقّ كل كثير حدود من الدرجة الثانية: فالجذور $j, j^2$ و $-j, -j^2$ ، أي $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}, \eu^{\pm\iu\pi/3}$ .

$X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ فوق $\C$ ، وفوق $\R$ :

X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1),

بتجميع الزوجين المترافقين $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ و $\eu^{\pm \iu\pi/3}$ .

تمرين 8.5 ★★

لتكن $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$ .

جد الجذور الناطقة (فالجذر الناطق $p/q$ في أبسط صورة لكثير حدود صحيح واحديّ عددٌ صحيح يقسم الحدّ الثابت — فبرهن على ذلك)، وعمّل $P$ .
دون حلّ، احسب مجموع مربعات الجذور ومجموع مقلوباتها بصيغ فييت، وتحقق من ذلك على التعميل.

حل

حل التمرين 8.5.

ليكن $p/q$ (في أبسط صورة) جذرًا لكثير الحدود الصحيح الواحديّ $X^3 + \dots + c_0$ : فبإزالة المقامات في $P(p/q) = 0$ نجد $p^3 = -q\,(\text{عدد صحيح})$ ، ومنه $q \mid p^3$ ؛ وتفرض الأولية فيما بينهما أن $q = \pm 1$ : فالجذر عدد صحيح $p$ ، و $p \mid c_0$ (بعزل $c_0$ ). وهنا تقسم المرشحات العددَ $6$ : وبالتجريب، $P(1) = 0$ و $P(2) = 0$ و $P(3) = 0$ . ومنه $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ .
بصيغ فييت: $s_1 = 6$ و $s_2 = 11$ و $s_3 = 6$ . ومجموع المربعات: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ ، كما هو متوقع. ومجموع المقلوبات: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ ، كما هو متوقع.

تمرين 8.6 ★★

احسب $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ بخوارزمية إقليدس، واكتبه في صورة تركيبة $AU + BV$ لكثيرَي الحدود.

حل

حل التمرين 8.6.

خطوة القسمة الأولى في خوارزمية إقليدس:

(X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 ,

ومنه فإن قسمة $X^4 - 1$ على $X^3 - X^2 + X - 1$ مضبوطة (خارج القسمة $X + 1$ والباقي $0$ )، وتتوقف الخوارزمية فورًا:

\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1

(وهو واحديّ أصلًا). وعلاقة بيزو هي البديهية: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$ . وللتحقق من الاتساق بالتعميل: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$ ، وهو بالفعل جداء العوامل المشتركة التي لا تتجزأ للمقدارين $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ .

تمرين 8.7 ★★

ليكن $P \in \R[X]$ حيث $P(x) \geq 0$ لكل $x \in \R$ . برهن على أن $P$ مجموع مربعَي كثيرَي حدود حقيقيين: $P = A^2 + B^2$ . إرشاد: في التعميل الحقيقي، تكون تضاعفات الجذور الحقيقية زوجية؛ فاكتب العوامل من الدرجة الثانية على الصورة $(X - z)(X - \conj z)$ واستعمل $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ على جداء المقادير $(X - z)$ .

حل

حل التمرين 8.7.

بما أن $P \geq 0$ على $\R$ ، تكون تضاعفات جذوره الحقيقية زوجية (إذ تتغير إشارة $P$ عند جذر تضاعفه فرديّ). وباستعمال النتيجة 8.16 وبالازدواج، اكتب

P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j},

حيث $c > 0$ (من السلوك عند $+\infty$ ). ولتكن

S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X],

بحيث يكون $P = S\,\conj S$ حيث لكثير الحدود $\conj S$ المعاملات المرافقة. وافصل $S = A + \iu B$ حيث $A, B \in \R[X]$ : عندئذ

P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 .

تمرين 8.8 ★★

جد كثير الحدود $P$ من الدرجة $\leq 2$ الذي يحقق $P(0) = 1$ و $P(1) = 3$ و $P(2) = 2$ ، أولًا بصيغة لاغرانج، ثم بحلّ الجملة الخطية على المعاملات. وتحقق من توافق الجوابين.

حل

حل التمرين 8.8.

بمقايسة لاغرانج (المبرهنة 8.23) بالعقد $0, 1, 2$ :

P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1).

وبالنشر: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$ .

وبالجملة: $P = aX^2 + bX + c$ مع $c = 1$ ؛ و $a + b + 1 = 3$ ؛ و $4a + 2b + 1 = 2$ . وبطرح ضعف الثانية من الثالثة: $2a - 1 = -4$ ، ومنه $a = -\frac32$ و $b = \frac72$ . وهو كثير الحدود نفسه: $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$ . (وللتحقق $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$ .)

تمرين 8.9 ★★

برهن على أن لكثير الحدود $P = X^{2n+1} - 1$ جذرًا حقيقيًا واحدًا بالضبط، وعلى أنه من أجل كل $n \geq 1$ لا يكون لكثير الحدود $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ جذر مضاعف (قارن $P$ مع $P'$ ).

حل

حل التمرين 8.9.

$P = X^{2n+1} - 1$ : لدينا $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$ ، ومنه فالدالة الكثيرةُ الحدود متزايدة (تمامًا فيما عدا $0$ )، ونهايتاها $\mp\infty$ : فهي تنعدم مرة واحدة بالضبط على $\R$ (عند $x = 1$ ).

ولتكن $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$ . عندئذ $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$ . والجذر المضاعف $a$ يحقق $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ (القضية 8.11)، ومنه $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$ ، فيكون $a = 0$ ؛ لكن $E_n(0) = 1 \neq 0$ . فلا جذر مضاعف.

تمرين 8.10 ★★★

(كثيرات حدود تشيبيشيف) عرّف $T_0 = 1$ و $T_1 = X$ و $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ .

برهن بالاستقراء على أن $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ من أجل كل $\theta$ .
استنتج جذور $T_n$ التي عددها $n$ ومعامله المهيمن.
برهن على أن $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ ، وأنه يُبلغ عند $n + 1$ نقطة من $\intcc{-1}{1}$ .

حل

حل التمرين 8.10.

بالاستقراء (وتتحقق حالتا البداية). وباستعمال $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ :

$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$
يكون $T_n(\cos\theta) = 0$ إذا وفقط إذا كان $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ : فالأعداد

$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$

هي $n$ نقطة متمايزة من $\intoo{-1}{1}$ (إذ تقع الزوايا في $\intoo{0}{\pi}$ حيث يكون $\cos$ متباينًا)، وكلها جذور للمقدار $T_n$ ؛ وبما أن $\deg T_n = n$ (من التراجع، مع معامل مهيمن $2^{n-1}$ من أجل $n \geq 1$ ، بالاستقراء)، فهذه كل الجذور، وكلٌّ منها بسيط.
من أجل $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ : $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ ، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ ، أي عند النقاط $n+1$ التي هي $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ حيث $k = 0, \dots, n$ ، حيث $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (وهذا التذبذب المتساوي هو ما يجعل $2^{1-n}T_n$ كثير الحدود الواحديّ من الدرجة $n$ الأصغر معيارًا أعلى على $\intcc{-1}{1}$ — وهو مبرهن عليه في مسألة نهاية الأسبوع من هذا الفصل.)

تمرين 8.11 ★★★

ليكن $P \in \C[X]$ غير ثابت وجذوره المتمايزة $a_1, \dots, a_r$ (بتضاعفات $m_1, \dots, m_r$ ). برهن على متطابقة الكسور الناطقة

\frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i},

واستنتج مبرهنة غاوس–لوكاس: أن كل جذر للمقدار $P'$ يقع في المحدَّب المولَّد بجذور $P$ (احسب المتطابقة عند جذر $w$ للمقدار $P'$ ليس جذرًا للمقدار $P$ ، وخذ المرافقات، ثم اقرأ النتيجة بوصف $w$ متوسطًا موزونًا للأعداد $a_i$ ).

حل

حل التمرين 8.11.

اكتب $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$ . وتعطي قاعدة الجداء (ممدَّدةً إلى عدة عوامل)

P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k},

وبالقسمة على $P$ : $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (بوصفها كسورًا ناطقة، أي بعيدًا عن الجذور).

وليكن $w$ جذرًا للمقدار $P'$ . فإذا كان $w$ أحد الأعداد $a_i$ وقع في المحدَّب المولَّد بداهةً. وإلا فبالحساب عند $w$ :

0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} .

وبالمرافقة: $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$ حيث $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$ . ومنه

w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} :

وهي تركيبة محدَّبة (بأوزان موجبة مجموعها $1$ بعد التسوية) من الجذور $a_i$ . إذن كل جذر للمقدار $P'$ يقع في المحدَّب المولَّد بجذور $P$ .

تمرين 8.12 ★★

(مرشِّح جذور الوحدة) ليكن $n \in \N^*$ و $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ . بحساب $(1 + X)^n$ عند $1$ و $j$ و $j^2$ ، برهن على أن

\sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} ,

وتحقق من الصيغة من أجل $n = 3$ ومن أجل $n = 6$ . إرشاد: $1 + j^m + j^{2m}$ يساوي $3$ إذا كان $3 \mid m$ و $0$ فيما عدا ذلك؛ و $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$ .

حل

حل التمرين 8.12.

اجمع حسابات $(1 + X)^n$ عند الجذور التكعيبية الثلاثة للوحدة:

2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk ,

لأن $1 + j^k + j^{2k}$ مجموع هندسي يساوي $3$ عندما $3 \mid k$ ويساوي $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ فيما عدا ذلك. والآن $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ و $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$ ، ومنه $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ و

\sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} .

وللتحقق: من أجل $n = 3$ : $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$ ؛ ومن أجل $n = 6$ : $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$ .

8.5 مسألة: كثيرات حدود تشيبيشيف وأكثر كثيرات الحدود انبساطًا

مسألة 8.1

من بين كل كثيرات الحدود الواحدية من الدرجة $n$ ، أيّها يبقى أقرب إلى الصفر على $\intcc{-1}1$ ؟ الجواب — مبرهنة تشيبيشيف، وهي شهادة ميلاد نظرية التقريب — هو $2^{1-n}T_n$ ، حيث $T_n$ كثير حدود تشيبيشيف في التمرين 8.10، ولا يمكن لأيّ منافس واحديّ أن يتفوق على انحرافه $2^{1-n}$ . وتطوّر هذه المسألة جبر العائلة $(T_n)$ (قانون التركيب، والمعاملات الصريحة، والعائلة من النوع الثاني $U_n$ ، ومعادلة تفاضلية)، وتبرهن على مبرهنة الأمثلية مع حالة تساويها، وتجمع التطبيقات: عقد المقايسة المثلى، والقيمة المضبوطة للمقدار $\cos 36^\circ$ ، وتوافق $T_p \equiv X^p \pmod p$ . وفي كل ما يلي، $T_0 = 1$ و $T_1 = X$ و $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ ، ونستعمل بحرية $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ من التمرين 8.10.

الجزء 1 — العائلة $(T_n)$ .

احسب $T_2, T_3, T_4, T_5$ من التراجع. (وقارن $T_3$ بالمتطابقة $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ في المثال 3.9.)
برهن بالاستقراء: أن $\deg T_n = n$ ومعامله المهيمن $2^{n-1}$ من أجل $n \geq 1$ ، وأن للمقدار $T_n$ زوجية $n$ (فلا تظهر إلا القوى الزوجية أو الفردية وحدها).
برهن على مبدأ الوحدانية: أن $T_n$ هو كثير الحدود الوحيد الذي يحقق $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ من أجل كل $\theta$ . (فكثيرا حدود يتوافقان على $\intcc{-1}1$ يتوافقان في كل مكان: النتيجة 8.8.)
استنتج قانونَي التركيب والجداء:

$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$
استرجع من التمرين 8.10 الجذور $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ونقاط التذبذب المتساوي $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ حيث $T_n(y_k) = (-1)^k$ . واكتب التعميل الكامل للمقدار $T_n$ فوق $\R$ ، وبرّر أن النقاط $y_k$ تتشابك: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ .
برهن على أن $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ لكل $t \in \R$ (بالاستقراء نفسه، باستعمال القضية 4.18)، واستنتج من أجل $x \geq 1$ الصيغةَ المغلقة

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2} ,$

ومنه $T_n(x) > 1$ من أجل $x > 1$ : أي أن كثير الحدود يهرب فورًا خارج $\intcc{-1}1$ .

الجزء 2 — المعاملات، والعائلة $U_n$ ، ومعادلة تفاضلية.

انطلاقًا من صيغة دي موافر (النتيجة 3.8)، برهن على العبارة الصريحة

$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$

وتحقق منها من أجل $n = 3$ .
احسب $T_n(1)$ و $T_n(-1)$ و $T_n(0)$ من أجل كل $n$ .
عرّف $U_n$ (من النوع الثاني) بالمقدار $U_0 = 1$ و $U_1 = 2X$ و $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . برهن على أن $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ من أجل $\theta \notin \pi\Z$ ، وعلى أن $T_n' = n\,U_{n-1}$ من أجل $n \geq 1$ .
برهن على أن $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ لكل $\theta$ (بالاستقراء)، واستنتج الحاصر من نمط ماركوف

$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{على } \intcc{-1}1, \qquad\text{حيث } T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$
بيّن أن $y = T_n$ يحقق المعادلة التفاضلية

$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$

وذلك باشتقاق المتطابقة $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ بالنسبة إلى $\theta$ ؛ وتحقق من ذلك مباشرةً من أجل $T_2$ .

الجزء 3 — مبرهنة تشيبيشيف في الأمثلية. لتكن $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ (وهي واحدية حسب السؤال 2) ولنكتب $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$ .

برّر أن $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ ، وأنه يُبلغ بإشارات متناوبة عند النقاط $n + 1$ التي هي $y_n < \dots < y_0$ .
نفترض أن كثير حدود واحديًا $P$ من الدرجة $n$ يحقق $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ ، ونضع $D = \widetilde T_n - P$ . بيّن أن $\deg D \leq n - 1$ ، وأن $D(y_k)$ له إشارة $(-1)^k$ التامة من أجل كل $k = 0, \dots, n$ .
استنتج أن للمقدار $D$ على الأقل $n$ جذرًا حقيقيًا متمايزًا (واحدًا في كل فجوة، بخاصية القيم الوسطى، المستعملة هنا على مستوى الثانوية والمبرهن عليها في الفصل 13)، واستنتج مبرهنة تشيبيشيف: أن كل كثير حدود واحديّ $P$ من الدرجة $n$ يحقق

$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$
(حالة التساوي، الخطوة الأولى) نفترض الآن $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ بالضبط، مع $P$ واحديّ من الدرجة $n$ ، ولتكن $D = \widetilde T_n - P$ . بيّن أن $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ من أجل كل $k$ ، وأنه إذا كان $D(y_k) = 0$ عند نقطة داخلية $y_k$ (حيث $0 < k < n$ ) فإن $D'(y_k) = 0$ كذلك. (فعند $y_k$ داخلية، يبلغ كلٌّ من $\widetilde T_n$ و $P$ قيمة حدّية قيمتها المطلقة $\norm{\cdot} _\infty$ ؛ ومشتقة الدالة القابلة للاشتقاق تنعدم عند قيمة حدّية داخلية — وهذا مستعمل على مستوى الثانوية، ومبرهن عليه في الفصل 14.)
(حالة التساوي، الخاتمة) عُدَّ جذور $D$ مع التضاعف لتبيّن أن $D = 0$ : أي أن مبلغ الصغرى وحيد، $P = \widetilde T_n$ .
انقل ذلك إلى قطعة كيفية $\intcc ab$ : بيّن أن أصغر معيار أعلى لكثير حدود واحديّ من الدرجة $n$ على $\intcc ab$ هو $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ ، ويُبلغ بكثير حدود تشيبيشيف بعد إعادة السلّم. (عوّض $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ وتتبّع المعامل المهيمن.)

الجزء 4 — تطبيقات.

أنجز الحالة $n = 3$ باليد: حدّد القيم الحدّية للمقدار $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ على $\intcc{-1}1$ ، وتحقق من التذبذب المتساوي الرباعي بالقيمة $\frac14$ ، واستنتج أن لا كثير حدود واحديّ من الدرجة الثالثة يفعل أفضل.
(عقد المقايسة المثلى) من أجل $n + 1$ عقدة $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ ، يحكم خطأَ المقايسة المقدارُ $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (كما سيكمّمه الفصل 16). برهن على أن الاختيار الذي يصغّر $\norm\omega_\infty$ هو مجموعة جذور $T_{n+1}$ التي عددها $n + 1$ ، مع $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : فعقد تشيبيشيف هي المواضع الصحيحة للمقايسة.
باستعمال $T_5$ ، برهن على أن $c = \cos 36^\circ$ يحقق $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ ، وعمّل كثير الحدود هذا هكذا $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$ ، واستنتج

$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$

وتحقق من الاتساق مع $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ في التمرين 3.8.
قدّر $T_{10}(1.1)$ بالصيغة المغلقة من السؤال 6 (ويكفي رقمان معنويان)، وفسّر: فكثير حدود محدود بالمقدار $1$ على $\intcc{-1}1$ يمكن أن يتجاوز $40$ أصلًا عند $x = 1.1$ . (وكون $T_n$ ينمو أسرع من أمثاله خاصية أمثلية أخرى للعائلة، وهي خارج هذه المسألة.)
برهن على التوافق التالي: من أجل كل عدد أوليّ فرديّ $p$ ، تقبل كل معاملات $T_p - X^p$ القسمة على $p$ . (استعمل السؤال 7 و $p \mid \binom p{2j}$ من أجل $0 < 2j < p$ ، من برهان المبرهنة 6.23.) وتحقق من ذلك على $T_3$ و $T_5$ .

الجزء 5 — توليفة ختامية.

احسب صراحةً كثير الحدود الواحديّ من الدرجة الثانية ذا المعيار الأعلى الأصغر على $\intcc01$ وانحرافه. (السؤال 17 مع $n = 2$ .)
أين استعملت المسألة بالضبط: (أ) صلابة كثيرات الحدود (النتيجة 8.8)؛ (ب) مثلثات الفصل 3 والفصل 4؛ (ج) حساب المعاملات الثنائية في الفصل 6؟ جملة واحدة لكلٍّ منها.
توليفة، في فقرة قصيرة: تقول المبرهنة إن أكثر كثيرات الحدود الواحدية انبساطًا هو الذي يتذبذب تذبذبًا متساويًا، ويحوّل البرهان الأمثلية إلى عدّ جذور. علّق على هذه الآلية، وعلى دور التعويض $x = \cos\theta$ جسرًا بين الجبر والمثلثات، وسمِّ الموضعين اللذين احتاجت فيهما المسألة إلى وقائع تحليلية (خاصية القيم الوسطى، والقيمة الحدّية الداخلية) تبرهن عليها فصول لاحقة.

حل

حل المسألة 8.1.

1. $T_2 = 2X^2 - 1$ ؛ و $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$ ؛ و $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ ؛ و $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ . والمتطابقة $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ هي بالضبط $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ في المثال 3.9.

2. صحيحة من أجل $n = 1, 2$ . وإذا كان للمقدار $T_{n-1}$ و $T_n$ الدرجتان $n-1$ و $n$ والمعاملان المهيمنان $2^{n-2}$ و $2^{n-1}$ ، فإن $2X\,T_n$ درجته $n+1$ ومعامله المهيمن $2^n$ ، بينما درجة $T_{n-1}$ أدنى: ومنه فإن $T_{n+1}$ درجته $n + 1$ ومعامله المهيمن $2^n$ . وأمّا الزوجية: فإذا كان للمقدار $T_{n-1}$ زوجية $n - 1$ وللمقدار $T_n$ زوجية $n$ ، كان لكلٍّ من $2X\,T_n$ و $T_{n-1}$ زوجية $n + 1$ ، ومنه كذلك $T_{n+1}$ .

3. إذا كان $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ لكل $\theta$ ، توافق $P$ و $T_n$ عند كل نقطة من $\intcc{-1}1$ — وهي مجموعة لا نهائية — ومنه فإن للمقدار $P - T_n$ جذورًا لا نهائية العدد فهو كثير الحدود المعدوم (النتيجة 8.8).

4. من أجل $x = \cos\theta$ : $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$ ، و $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$ . وتتحقق المتطابقتان على $\intcc{-1}1$ ، فهما إذن متطابقتان كثيرتا الحدود بحجة السؤال 3.

5. الأعداد $x_k$ هي $n$ جذرًا بسيطًا متمايزًا والمعامل المهيمن $2^{n-1}$ :

T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) .

وأمّا التشابك: فالزوايا $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ تتناوب بين زوايا $y$ التي هي $\frac{k\pi}n$ وزوايا $x$ التي هي $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ؛ وبما أن $\cos$ متناقص تمامًا على $\intcc0\pi$ ، تتشابك القيم بالترتيب المعكوس: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ . وبين قيمتين حدّيتين متتاليتين يقع جذر واحد بالضبط، كما يوحي به رسم $\cos n\theta$ .

6. بالاستقراء مع $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ (القضية 4.18): $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$ . ومن أجل $x \geq 1$ ، اكتب $x = \cosh t$ حيث $t \geq 0$ ؛ عندئذ $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ و $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$ ، ومنه

T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 .

ومن أجل $x > 1$ يتجاوز الحدّ الأول $\frac12(1)^n$ تمامًا و ينمو هندسيًا: أي $T_n(x) > 1$ .

7. بصيغة دي موافر: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$ ، و $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$ . وبتعويض $x = \cos\theta$ واستدعاء السؤال 3:

T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j .

ومن أجل $n = 3$ : $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$ ، كما في السؤال 1.

8. $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$ ؛ و $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$ ؛ و $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$ ، وهو $0$ من أجل $n$ الفرديّ و $(-1)^{n/2}$ من أجل $n$ الزوجيّ.

9. بالاستقراء من أجل $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ : صحيحة من أجل $U_0 = 1$ و $U_1 = 2X$ ( $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ )؛ والخطوة هي متطابقة تحويل المجموع إلى جداء $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$ . والآن اشتقّ $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ بالنسبة إلى $\theta$ : $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$ ، ومنه من أجل $\theta \notin \pi\Z$ :

T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) ,

وكثيرا الحدود $T_n'$ و $nU_{n-1}$ ، وهما متوافقان على $\intoo{-1}1$ ، متساويان.

10. $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$ ، ويعطي الاستقراء $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$ . ومنه $\abs{U_{n-1}} \leq n$ على $\intoo{-1}1$ و $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ هناك؛ وعند $\pm1$ يمتدّ الحاصر بأخذ النهايات (أو مباشرةً: $U_{n-1}(1) = n$ من التراجع، و $U_n(1) = n + 1$ بالاستقراء، وتعطي الزوجية $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$ ). ومنه $T_n'(1) = n^2$ و $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$ : فالحاصر $n^2$ يُبلغ عند الطرفين.

11. اشتقّ $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (السؤال 9) بالنسبة إلى $\theta$ :

\cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) .

ومع $x = \cos\theta$ و $\sin^2\theta = 1 - x^2$ : يكون $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ على $\intcc{-1}1$ ، ومنه في كل مكان: $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ من أجل $y = T_n$ . وللتحقق من أجل $T_2 = 2x^2 - 1$ : $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$ .

12. كثير الحدود $\widetilde T_n$ واحديّ (السؤال 2) و $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ على $\intcc{-1}1$ ، مع $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ عند النقاط $n + 1$ التي هي $y_k$ (التمرين 8.10): فالمعيار هو $2^{1-n}$ بالضبط، ويُبلغ بإشارات متناوبة.

13. كلٌّ من $\widetilde T_n$ و $P$ واحديّ من الدرجة $n$ ، فتختصر الحدود المهيمنة: أي $\deg D \leq n - 1$ . وعند $y_k$ : $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$ ، ويفرض $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ أن تكون إشارة $D(y_k)$ هي إشارة $(-1)^k2^{1-n}$ ، بصورة تامة.

14. تتغير إشارة $D$ بين $y_{k+1}$ و $y_k$ من أجل كل $k = 0, \dots, n-1$ : وبخاصية القيم الوسطى، يكون للمقدار $D$ جذر في كلٍّ من هذه المجالات المفتوحة المنفصلة مثنى مثنى التي عددها $n$ — أي $n$ جذرًا متمايزًا لكثير حدود غير معدوم من الدرجة $\leq n - 1$ ، وهذا مستحيل. و $D = 0$ مستحيل كذلك (فالمعياران مختلفان). وهذا تناقض: فلا كثير حدود واحديّ $P$ من الدرجة $n$ يحقق $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ ، وهي مبرهنة تشيبيشيف.

15. الآن $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$ لا غير، ومنه $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$ . نفترض $D(y_k) = 0$ عند $y_k$ داخلية (حيث $0 < k < n$ ): عندئذ $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ ، ومنه يبلغ $\abs P$ حدّه الأعلى $2^{1-n}$ عند النقطة الداخلية $y_k$ ، ومنه $P'(y_k) = 0$ (بالقيمة الحدّية الداخلية)؛ و $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$ لأن $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — ومنه $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ كذلك، و $D'(y_k) = 0$ : أي أن $y_k$ جذر للمقدار $D$ تضاعفه $2$ على الأقل.

16. عُدَّ جذور $D$ مع التضاعف. وليكن $z$ عدد النقاط الداخلية $y_k$ التي تحقق $D(y_k) = 0$ (وكلٌّ منها جذر مضاعف، حسب السؤال 15) و $e \in \{0, 1, 2\}$ عدد الطرفين ( $y_0$ أو $y_n$ ) اللذين $D = 0$ عندهما (وكلٌّ منهما جذر بسيط على الأقل). والفجوة $(y_{k+1}, y_k)$ التي يحقق طرفاها معًا $D \neq 0$ تحمل إشارات متناوبة تمامًا، ومنه جذرًا داخليًا. وكل نقطة داخلية معدومة تفسد فجوتيها المجاورتين على الأكثر، وكل طرف معدوم يفسد فجوة واحدة على الأكثر: فتبقى $n - 2z - e$ فجوة على الأقل تسهم كلٌّ منها بجذر، وكلها متمايزة عن جذور $y$ . والمجموع: على الأقل $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ جذرًا مع التضاعف، من أجل كثير حدود درجته $\leq n - 1$ : ومنه $D = 0$ و $P = \widetilde T_n$ . فمبلغ الصغرى وحيد.

17. التطبيق التآلفي $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ تقابلٌ $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$ . وإذا كان $P$ واحديًا من الدرجة $n$ ، كان $Q(t) = P(x(t))$ كثير حدود في $t$ معامله المهيمن $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ ، و $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$ . وكثير الحدود الواحديّ $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ معياره الأعلى $\geq 2^{1-n}$ (السؤالان 13–14)، ومنه

\sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n ,

مع التساوي تحديدًا من أجل $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (السؤال 16).

18. $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$ ؛ و $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ ينعدم عند $\pm\frac12$ . والقيم: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$ و $\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$ و $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$ و $\widetilde T_3(1) = \frac14$ : أي أربع قيم حدّية متناوبة قيمتها المطلقة $\frac14$ — ومنه $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$ ، وبمبرهنة تشيبيشيف لا يوجد كثير حدود واحديّ من الدرجة الثالثة ذو معيار أعلى أصغر على $\intcc{-1}1$ .

19. كثير الحدود $\omega$ واحديّ من الدرجة $n + 1$ ، ومنه $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ بمبرهنة تشيبيشيف (من الدرجة $n+1$ )، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (السؤال 16)، أي إذا وفقط إذا كانت العقد هي جذور $T_{n+1}$ التي عددها $n + 1$ . وبعقد تشيبيشيف يكون عامل الخطأ $\norm\omega_\infty$ مساويًا $2^{-n}$ — وهو الأصغر الممكن.

20. $5 \times 36^\circ = 180^\circ$ ، ومنه $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$ : أي $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ . وبتجريب $x = -1$ : $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$ ، ويؤكد النشر أن

16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 .

وبما أن $c = \cos36^\circ \neq -1$ ، يكون $c$ جذرًا للمقدار $4x^2 - 2x - 1$ ، وجذراه $\frac{1 \pm \sqrt5}4$ ؛ وبما أن $c > 0$ ،

\cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .

وللاتساق: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ ، وهي القيمة الموجودة في التمرين 3.8.

21. $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$ ، ومنه $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ و $(1.558)^{10} \approx 84.5$ ، بينما $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$ : أي $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$ . فكثير حدود محصور في $\intcc{-1}1$ على المجال قد نما بالفعل فوق $40$ على بعد عُشر خارج حافته: فالمحدودية على قطعة لا تقول شيئًا عمّا يقع على مسافة إصبع خارجها.

22. في صيغة $T_p$ من السؤال 7، يكون الحدّ $j = 0$ هو $X^p$ ؛ ويحمل كل حدّ آخر المعامل $\binom p{2j}$ حيث $0 < 2j < p$ (ولاحظ أن $2j \neq p$ لأن $p$ فرديّ)، وهو يقبل القسمة على $p$ بالخطوة الأولى من برهان المبرهنة 6.23. ومنه فإن كل معامل من $T_p - X^p$ مضاعف للعدد $p$ . وللتحقق: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$ ؛ و $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$ .

23. بالسؤال 17 مع $\intcc ab = \intcc01$ و $n = 2$ : يكون أصغر انحراف $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$ ، ويُبلغ بالمقدار $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$ . فكثير الحدود الواحديّ من الدرجة الثانية الأقرب إلى الصفر على $\intcc01$ هو $x^2 - x + \frac18$ ، ومعياره الأعلى $\frac18$ .

24. (أ) الصلابة — أي أن كثير حدود بجذور أكثر من درجته معدوم — هي ما شغّل مبدأ الوحدانية (السؤال 3)، ونقلَ المتطابقات المثلثية إلى متطابقات كثيرة الحدود (الأسئلة 4 و 7 و 9 و 11)، وحجّتَي عدّ الجذور في برهان الأمثلية (السؤالان 14 و 16). (ب) ووفّرت مثلثات الفصل 3 (دي موافر، وتحويل المجموع إلى جداء) والدوال الزائدية في الفصل 4 كل متطابقة وراء العائلة؛ و التعويض $x = \cos\theta$ هو الجسر. (ج) وحوّلت قابلية القسمة $p \mid \binom p{2j}$ من الفصل 6 صيغةَ المعاملات إلى توافق السؤال 22.

25. تحوّل مبرهنة تشيبيشيف أمثليةً على عائلة لا نهائية البُعد (كل كثيرات الحدود الواحدية) إلى توفيقيات منتهية: فالمنافس الأفضل من $\widetilde T_n$ كان سيختلف عنه بكثير حدود منخفض الدرجة مفروض عليه أن يغيّر إشارته $n$ مرة — أي بجذر يزيد على ما تسمح به درجته. ومنه فإن نمط التذبذب المتساوي ليس طُرفة بل هو شهادة الأمثلية نفسها، وتصقل حالة التساوي عدّ الجذور بالتضاعفات. ويستحق التعويض $x = \cos\theta$ الكلمة الأخيرة: فهو ينقل عالم كثيرات الحدود الصلب المتقطع إلى عالم المثلثات الدوري، حيث تكون جذور $T_n$ وقيمه الحدّية مجرد شبكة منتظمة للمقدار $\cos n\theta$ . أمّا الواقعتان التحليليتان المستعارتان — خاصية القيم الوسطى (السؤال 14؛ المبرهن عليها في الفصل 13) وانعدام المشتقة عند قيمة حدّية داخلية (السؤال 15؛ المبرهن عليه في الفصل 14) — فهما بالضبط الأداتان اللتان ستردّهما تلك الفصول اللاحقة، فتُغلق الحلقة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد