Apa itu Eksponensial kompleks berargumen imajiner? — Matematika

Definisi 3.5 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 3 — Bilangan Kompleks

Untuk $\theta \in \R$ kita definisikan

\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta .

Setiap $z \neq 0$ dapat ditulis $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ dengan $r = \abs z > 0$ ; di sini $\theta$ disebut argumen dari $z$ , yang tertentu sampai penambahan kelipatan $2\pi$ . Nilai yang berada di $\intoc{-\pi}{\pi}$ disebut argumen utama, ditulis $\arg z$ .

Contoh

Contoh 3.6 (Nilai pertama, dan satu kesamaan termasyhur)

Membaca definisi itu pada sudut-sudut istimewa:

\eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad \eu^{\iu\pi} = -1, \qquad \eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad \eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) .

Yang kedua, ditata ulang menjadi $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$ , adalah kesamaan Euler yang termasyhur, yang merangkai $\eu$ , $\iu$ , $\pi$ , $1$ dan $0$ ; pada tahap buku ini ia lebih merupakan definisi yang diurai daripada sebuah teorema, dan isi sesungguhnya — mengapa fungsi eksponensial analitik pada Bab 4, yang diperluas ke argumen imajiner, pantas menyandang nama yang sama — diselesaikan oleh deret pangkat pada Bab 17. Sementara itu tampilan di atas layak dihafalkan sebagai tabel konversi: ia dipakai diam-diam setiap kali sebuah argumen dibaca dari gambar.

Contoh 3.9 (Menjabarkan $\cos 3\theta$ dengan de Moivre)

Tulis $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ . De Moivre dan teorema binomial memberikan

\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3 = c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3),

lalu dengan menyamakan bagian realnya, dan mensubstitusikan $s^2 = 1 - c^2$ :

\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta .

Bagian imajinernya memberikan $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ cuma-cuma: satu kesamaan kompleks selalu membawa dua kesamaan real. Dibaca terbalik, kesamaan itu adalah kunci klasik bagi pembagian sudut menjadi tiga: mengonstruksi $\cos(\theta/3)$ dari $\cos\theta$ berarti menyelesaikan persamaan kubik $4x^3 - 3x = \cos\theta$ , dan di situlah aljabar Bab 8 mengambil alih.

Contoh 3.13 (Sebuah jumlah trigonometri binomial)

Untuk $n \in \N$ dan $\theta \in \R$ , hitunglah $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$ . Kenali ia sebagai bagian real sebuah penjabaran binomial:

S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k = \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n ,

lalu faktorkan setengah sudutnya (Metode 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , sehingga

S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr) = 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 .

Bagian imajinernya memberikan $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ cuma-cuma. Pemeriksaan kewajaran: $\theta = 0$ memulihkan $\sum\binom nk = 2^n$ , sedangkan $\theta = \pi$ memberikan $S = 0$ untuk $n \geq 1$ (setiap faktor $\cos\frac\pi2$ lenyap), yakni jumlah baris berselang-seling pada Contoh 2.17. Metodenya — “lihatlah jumlah kosinus itu sebagai bayangan sebuah pangkat kompleks, lalu faktorkan setengah sudutnya” — persis metode Latihan 3.6, dengan teorema binomial menggantikan deret geometri.

Baca dalam konteks →