ما معنى المحددات؟ — الرياضيات

تعريف 2.16 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 2 — الجبر الخطي

محدد عائلة في أساس هو $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ ؛ ومحدد المصفوفة $A$ هو محدد أعمدتها في الأساس القانوني — أي صيغة التبديلات أعلاه؛ ومحدد التشاكل الذاتي $u$ هو العدد $\det u$ الذي يحقق

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{من أجل كل } x_i

(فالطرف الأيسر صيغة $n$ -خطية متناوبة، ومن ثم فهو مضاعف للصيغة $\det_\mathcal{B}$ حسب المبرهنة 2.14؛ والعامل لا يتعلق بالأساس $\mathcal{B}$ ).

أمثلة

مثال 2.19 (محدد بالقواعد)

لتكن $J \in \mathcal{M}_n(K)$ المصفوفة التي كل عناصرها واحد ولتكن $a \in K$ ؛ ونحسب $\det(aI_n + J)$ بالأدوات التي بُرهن عليها للتوّ. فمجموع كل عمود من أعمدة $aI_n + J$ يُحسب بالطريقة نفسها: نضيف كل الأسطر إلى الأول (فلا يتغير المحدد — إذ إن إضافة مضاعف لسطر إلى سطر آخر تضيف حدًّا باتجاه متكرر، يقتله التناوب). فيصير السطر الأول $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ ؛ ثم نُخرج العامل $a + n$ بالخطية في ذلك السطر، ثم نطرح العمود الأول من كل عمود آخر: فيبقى ما هو مثلثي بقطر $(1, a, \dots, a)$ . ومنه

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

والفكرة الختامية: الجذران $a = 0$ (بتضاعف $n - 1$ ) و $a = -n$ يقولان إن للمصفوفة $J$ القيمة الذاتية $0$ بتضاعف $n - 1$ والقيمة الذاتية $n$ مرة واحدة — أي طيف المصفوفة ذات الرتبة واحد $J$ ، قبل فصل كامل (وستجعل الفصل 3 هذا منهجيًا).

مثال 2.20 (محدد بصيغة التبديلات)

من أجل مصفوفة كثيرة الأصفار تكون الصيغة عملية بذاتها: ففي

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

التبديلة الوحيدة التي تلتقط عناصر غير معدومة هي الدورة ذات الطول $4$ ، أي $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ ، التي ترسل العمود $1 \to$ إلى السطر $4$ ، وهكذا؛ و $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ ، ومنه $\det A = -abcd$ . (وللتحقق بثلاث مبادلات أعمدة نبلغ مصفوفة قطرية.)

مثال 2.21 (محدد فاندرموند بصيغة الجداء)

من أجل العقد $0, 1, 2$ (المستعملة في قواعد التكميم مثل قاعدة التمرين 2.4)، يُحسب محدد فاندرموند للفضاء التمرين 2.11 بنظرة واحدة:

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

وبالنشر المباشر على العمود الأول: $1\cdot(4 - 2) = 2$ : وهو التوافق نفسه. وعدم الانعدام من أجل عقد مختلفة هو نظرية الاستكمال كلها في محدد واحد: فصيغ التقييم $P \mapsto P(a_i)$ أساسٌ للثنوي بالضبط حين يكون هذا المحدد غير معدوم، أي دائمًا من أجل $a_i$ مختلفة — أي المثال 2.2 مقدَّرةً كمًّا.

اقرأ في الفصل ←