Apa itu Determinan? — Matematika

Definisi 2.16 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 2 — Aljabar Linear

Determinan sebuah keluarga pada suatu basis adalah $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ ; determinan sebuah matriks $A$ adalah determinan kolomnya pada basis kanonik — yakni rumus permutasi di atas; sedangkan determinan sebuah endomorfisma $u$ adalah skalar $\det u$ sedemikian sehingga

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{untuk setiap } x_i

(ruas kirinya $n$ -linear alternating, jadi merupakan kelipatan $\det_\mathcal{B}$ menurut Teorema 2.14; faktornya tidak bergantung pada $\mathcal{B}$ ).

Contoh

Contoh 2.19 (Sebuah determinan lewat aturannya)

Misalkan $J \in \mathcal{M}_n(K)$ matriks yang semua unsurnya satu dan $a \in K$ ; kita hitung $\det(aI_n + J)$ dengan perkakas yang baru saja dibuktikan. Setiap kolom $aI_n + J$ berjumlah dengan pola yang sama: tambahkan semua baris ke baris pertama (determinannya tak berubah — menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain menambahkan suku berarah berulang, yang ditolkan sifat alternating). Baris pertama menjadi $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ ; keluarkan faktor $a + n$ lewat kelinearan pada baris itu, lalu kurangkan kolom pertama dari setiap kolom lain: yang tersisa segitiga dengan diagonal $(1, a, \dots, a)$ . Jadi

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

Pelajaran penutupnya: akar $a = 0$ (bermultiplisitas $n - 1$ ) dan $a = -n$ mengatakan bahwa $J$ punya nilai eigen $0$ bermultiplisitas $n - 1$ dan nilai eigen $n$ sekali — yakni spektrum matriks $J$ yang berank satu, satu bab lebih awal (Bab 3 akan menjadikannya sistematis).

Contoh 2.20 (Sebuah determinan lewat rumus permutasi)

Untuk matriks dengan banyak nol, rumus itu praktis dengan sendirinya: pada

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

satu-satunya permutasi yang memungut unsur tak nol adalah siklus berpanjang $4$ , yaitu $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ , yang memetakan kolom $1 \to$ baris $4$ , dan seterusnya; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ , jadi $\det A = -abcd$ . (Periksa lewat tiga penukaran kolom sampai tercapai matriks diagonal.)

Contoh 2.21 (Vandermonde lewat rumus hasil kali)

Untuk simpul $0, 1, 2$ (yang dipakai aturan kuadratur seperti pada Latihan 2.4), determinan Vandermonde pada Latihan 2.11 terhitung dalam sekali pandang:

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

dan lewat penguraian langsung sepanjang kolom pertama: $1\cdot(4 - 2) = 2$ , jadi cocok. Ketaknolan untuk simpul yang berbeda adalah seluruh teori interpolasi di dalam satu determinan: bentuk evaluasi $P \mapsto P(a_i)$ merupakan basis dualnya persis ketika determinan ini tak nol, yakni selalu untuk $a_i$ yang berbeda — Contoh 2.2 yang dikuantifikasi.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait