सारणिक क्या है?

उदाहरण 2.19 (नियमों के सहारे एक सारणिक)

मान लीजिए $J \in \mathcal{M}_n(K)$ सर्व-एक आव्यूह है और $a \in K$; अभी-अभी सिद्ध किए गए औज़ारों से हम $\det(aI_n + J)$ परिकलित करते हैं। $aI_n + J$ का हर स्तंभ एक ही ढंग से जुड़ता है: सारी पंक्तियाँ पहली में जोड़ दीजिए (सारणिक अपरिवर्तित रहता है — एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ने से दोहराई गई दिशा वाला पद जुड़ता है, जिसे एकांतरता मार देती है)। पहली पंक्ति $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ हो जाती है; उस पंक्ति में रैखिकता से $a + n$ बाहर निकालिए, फिर पहला स्तंभ हर दूसरे स्तंभ में से घटा दीजिए: जो बचता है वह विकर्ण $(1, a, \dots, a)$ वाला त्रिभुजाकार आव्यूह है। अतः

समापन दृष्टि: मूल $a = 0$ (बहुलता $n - 1$) और $a = -n$ यह कहते हैं कि $J$ का अभिलक्षणिक मान $0$ बहुलता $n - 1$ के साथ है और अभिलक्षणिक मान $n$ एक बार — अर्थात् कोटि एक के आव्यूह $J$ का वर्णक्रम, एक अध्याय पहले ही (अध्याय 3 इसे क्रमबद्ध कर देगा)।

उदाहरण 2.20 (क्रमचय सूत्र से एक सारणिक)

जिस आव्यूह में बहुत से शून्य हों उसके लिए सूत्र स्वयं ही व्यावहारिक है: इसमें

अशून्य प्रविष्टियाँ चुनने वाला एकमात्र क्रमचय $4$-चक्र $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ है, जो स्तंभ $1 \to$ को पंक्ति $4$ पर भेजता है, इत्यादि; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$, अतः $\det A = -abcd$। (विकर्ण आव्यूह तक पहुँचने के लिए तीन स्तंभ-अदला-बदली करके जाँच लीजिए।)

उदाहरण 2.21 (गुणनफल सूत्र से एक वांडरमोंड)

नोड $0, 1, 2$ के लिए (जिन्हें अभ्यास 2.4 जैसे समाकलन नियम काम में लेते हैं), अभ्यास 2.11 का वांडरमोंड सारणिक एक ही दृष्टि में निकल आता है:

और पहले स्तंभ के अनुदिश सीधे प्रसार से: $1\cdot(4 - 2) = 2$: दोनों मिल गए। भिन्न नोडों के लिए अशून्य होना एक ही सारणिक में अंतर्वेशन का पूरा सिद्धांत है: मूल्यांकन फलनिक $P \mapsto P(a_i)$ ठीक तभी द्वैत के आधार होते हैं जब यह सारणिक अशून्य हो, अर्थात् भिन्न $a_i$ के लिए सदा — उदाहरण 2.2 का परिमाणीकरण।