Qu'est-ce que « Déterminants » ? — Mathématiques

Définition 2.16 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 2 — Algèbre linéaire

Le déterminant d’une famille dans une base est $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ ; le déterminant d’une matrice $A$ est le déterminant de ses colonnes dans la base canonique — la formule des permutations ci-dessus ; le déterminant d’un endomorphisme $u$ est le scalaire $\det u$ tel que

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{pour tous } x_i

(le membre de gauche est $n$ -linéaire alterné, donc un multiple de $\det_\mathcal{B}$ par le Théorème 2.14 ; le facteur ne dépend pas de $\mathcal{B}$ ).

Exemples

Exemple 2.19 (Un déterminant par les règles)

Soit $J \in \mathcal{M}_n(K)$ la matrice de uns et $a \in K$ ; calculons $\det(aI_n + J)$ avec les outils qui viennent d’être démontrés. Chaque colonne de $aI_n + J$ se somme de la même façon : ajouter toutes les lignes à la première (le déterminant est inchangé — ajouter à une ligne un multiple d’une autre ajoute un terme à direction répétée, tué par le caractère alterné). La première ligne devient $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ ; factoriser $a + n$ par linéarité dans cette ligne, puis soustraire la première colonne à toute autre colonne : il reste une matrice triangulaire de diagonale $(1, a, \dots, a)$ . Donc

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

L’éclairage final : les racines $a = 0$ (multiplicité $n - 1$ ) et $a = -n$ disent que $J$ a la valeur propre $0$ avec multiplicité $n - 1$ et la valeur propre $n$ une fois — le spectre de la matrice de rang un $J$ , un chapitre en avance (le Chapitre 3 rendra ceci systématique).

Exemple 2.20 (Un déterminant par la formule des permutations)

Pour une matrice avec beaucoup de zéros la formule est praticable par elle-même : dans

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

la seule permutation ramassant des coefficients non nuls est le $4$ -cycle $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ envoyant la colonne $1 \to$ ligne $4$ , etc. ; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ , donc $\det A = -abcd$ . (Vérification via trois échanges de colonnes pour atteindre une matrice diagonale.)

Exemple 2.21 (Un Vandermonde par la formule du produit)

Pour les nœuds $0, 1, 2$ (utilisés par des règles de quadrature comme celle de l’Exercice 2.4), le déterminant de Vandermonde de l’Exercice 2.11 s’évalue d’un coup d’œil :

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

et par développement direct suivant la première colonne : $1\cdot(4 - 2) = 2$ : accord. La non-annulation pour des nœuds distincts est toute la théorie de l’interpolation dans un déterminant : les formes d’évaluation $P \mapsto P(a_i)$ sont une base du dual exactement quand ce déterminant est non nul, c’est-à-dire toujours pour des $a_i$ distincts — l’Exemple 2.2 quantifié.

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