¿Qué es Determinantes? — Matemáticas

Definición 2.16 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 2 — Álgebra lineal

El determinante de una familia en una base es $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ ; el determinante de una matriz $A$ es el determinante de sus columnas en la base canónica — la fórmula de las permutaciones de más arriba—; el determinante de un endomorfismo $u$ es el escalar $\det u$ tal que

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{para todos los } x_i

(el miembro izquierdo es $n$ -lineal alternado, luego múltiplo de $\det_\mathcal{B}$ por el Teorema 2.14; el factor no depende de $\mathcal{B}$ ).

Ejemplos

Ejemplo 2.19 (Un determinante mediante las reglas)

Sea $J \in \mathcal{M}_n(K)$ la matriz de unos y $a \in K$ ; calculemos $\det(aI_n + J)$ con las herramientas recién demostradas. Todas las columnas de $aI_n + J$ suman igual: sumemos todas las filas a la primera (el determinante no varía, pues sumar un múltiplo de una fila a otra añade un término con una dirección repetida, que la alternancia mata). La primera fila pasa a ser $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ ; saquemos $a + n$ por linealidad en esa fila y restemos después la primera columna de todas las demás: lo que queda es triangular con diagonal $(1, a, \dots, a)$ . Por tanto

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

La moraleja: las raíces $a = 0$ (de multiplicidad $n - 1$ ) y $a = -n$ dicen que $J$ tiene el valor propio $0$ con multiplicidad $n - 1$ y el valor propio $n$ una vez, es decir, el espectro de la matriz $J$ de rango uno, un capítulo antes de tiempo (el Capítulo 3 lo hará sistemático).

Ejemplo 2.20 (Un determinante por la fórmula de las permutaciones)

Para una matriz con muchos ceros la fórmula resulta práctica por sí sola: en

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

la única permutación que selecciona entradas no nulas es el ciclo de longitud $4$ $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ , que envía la columna $1$ a la fila $4$ , etc.; como $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ , resulta $\det A = -abcd$ . (Compruébese mediante tres intercambios de columnas hasta llegar a una matriz diagonal.)

Ejemplo 2.21 (Un Vandermonde por la fórmula del producto)

Para los nodos $0, 1, 2$ (usados por reglas de cuadratura como la del Ejercicio 2.4), el determinante de Vandermonde del Ejercicio 2.11 se evalúa de un vistazo:

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

y por desarrollo directo a lo largo de la primera columna: $1\cdot(4 - 2) = 2$ ; coinciden. Que no se anule cuando los nodos son distintos es toda la teoría de la interpolación en un solo determinante: las formas de evaluación $P \mapsto P(a_i)$ son una base del dual exactamente cuando este determinante no es nulo, es decir, siempre que los $a_i$ sean distintos; el Ejemplo 2.2, cuantificado.

Leer en el capítulo →