O que é Determinantes? — Matemática

Definição 2.16 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 2 — Álgebra linear

O determinante de uma família numa base é $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ ; o determinante de uma matriz $A$ é o determinante de suas colunas na base canônica — a fórmula das permutações acima; o determinante de um endomorfismo $u$ é o escalar $\det u$ tal que

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{para todo } x_i

(o membro da esquerda é $n$ -linear alternado, logo um múltiplo de $\det_\mathcal{B}$ pelo Teorema 2.14; o fator não depende de $\mathcal{B}$ ).

Exemplos

Exemplo 2.19 (Um determinante pelas regras)

Seja $J \in \mathcal{M}_n(K)$ a matriz de uns e $a \in K$ ; calculamos $\det(aI_n + J)$ com as ferramentas recém-demonstradas. Toda coluna de $aI_n + J$ soma da mesma maneira: some todas as linhas à primeira (o determinante não muda — somar um múltiplo de uma linha a outra acrescenta um termo de direção repetida, morto pela alternância). A primeira linha torna-se $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ ; ponha $a + n$ em evidência pela linearidade nessa linha, depois subtraia a primeira coluna de todas as demais: o que resta é triangular com diagonal $(1, a, \dots, a)$ . Logo

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

A lição final: as raízes $a = 0$ (multiplicidade $n - 1$ ) e $a = -n$ dizem que $J$ tem autovalor $0$ com multiplicidade $n - 1$ e autovalor $n$ uma vez — o espectro da matriz de posto um $J$ , um capítulo antes da hora (o Capítulo 3 tornará isso sistemático).

Exemplo 2.20 (Um determinante pela fórmula das permutações)

Para uma matriz com muitos zeros a fórmula é prática por si só: em

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

a única permutação que colhe entradas não nulas é o $4$ -ciclo $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ que leva a coluna $1 \to$ na linha $4$ , etc.; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ , logo $\det A = -abcd$ . (Confira por três trocas de colunas até chegar a uma matriz diagonal.)

Exemplo 2.21 (Uma Vandermonde pela fórmula do produto)

Para os nós $0, 1, 2$ (usados por regras de quadratura como a de Exercício 2.4), o determinante de Vandermonde de Exercício 2.11 se calcula num relance:

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

e por desenvolvimento direto ao longo da primeira coluna: $1\cdot(4 - 2) = 2$ : coincidem. A não anulação para nós distintos é toda a teoria da interpolação em um só determinante: as formas de avaliação $P \mapsto P(a_i)$ são uma base do dual exatamente quando esse determinante é não nulo, isto é, sempre que os $a_i$ são distintos — o Exemplo 2.2 quantificado.

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