جميع الكتب

مهني

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded Marketsالأسواق عبر الإنترنتالإنجليزية 2 Markets II: Rates, FX and Creditالأسواق عبر الإنترنتالإنجليزية 3 Markets III: Commodities, Energy and Cryptoالأسواق عبر الإنترنتالإنجليزية 4 Quantitative Methodsالأساليب عبر الإنترنتالإنجليزية 5 Derivatives and Volatilityالمشتقات عبر الإنترنتالإنجليزية 6 Rates, Credit, XVA and Riskالفائدة والائتمان والمخاطر عبر الإنترنتالإنجليزية 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, Portfoliosالبحث عبر الإنترنتالإنجليزية 8 Strategies I: Equities and Futuresالاستراتيجيات عبر الإنترنتالإنجليزية 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank Desksالاستراتيجيات عبر الإنترنتالإنجليزية 10 Microstructure and Executionالتنفيذ عبر الإنترنتالإنجليزية 11 Market Making and High-Frequency Tradingصناعة السوق عبر الإنترنتالإنجليزية 12 Machine Learning for Marketsتعلم الآلة عبر الإنترنتالإنجليزية 13 Low-Latency Softwareالتكنولوجيا عبر الإنترنتالإنجليزية 14 Networks, Hardware and Trading Infrastructureالتكنولوجيا عبر الإنترنتالإنجليزية 15 Research, Data and Risk Platformsالتكنولوجيا عبر الإنترنتالإنجليزية 16 The Desk and the Firmالشركة عبر الإنترنتالإنجليزية 17 The Industry: Firms, Roles and Careersالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية 18 Interviews I: Maths, Probability and Speedالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final Roundالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية 20 Interviews III: Codeالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية
التطبيقات حول المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى الصورة التفاضلية؛ التكامل المنحني؟

يُعرف أيضًا باسم: صورة تفاضلية · تكامل منحني

تعريف 20.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 20 — التكاملات المنحنية والتكاملات المتعددة

ليكن U⊆R2U \subseteq \R^2 مفتوحا. الصورة التفاضلية من الدرجة 11 والصنف C0\mathcal{C}^0 على UU هي عبارة ω=P  ⁣dx+Q  ⁣dy\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y حيث P,Q ⁣:U→RP, Q \colon U \to \R متصلتان — وبصورة رسمية، تطبيق متصل من UU نحو ثنوي R2\R^2، أي ω(M)=P(M) e1∗+Q(M) e2∗\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*. ومن أجل قوس γ ⁣:[a,b]→U\gamma \colon [a, b] \to U من الصنف C1\mathcal{C}^1، γ(t)=(x(t),y(t))\gamma(t) = (x(t), y(t))، يكون التكامل المنحني للصورة ω\omega على طول γ\gamma هو

∫γω=∫ab(P(γ(t)) x′(t)+Q(γ(t)) y′(t))  ⁣dt.\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

وتمتد التعاريف حرفيا إلى R3\R^3 (الصور P  ⁣dx+Q  ⁣dy+R  ⁣dzP\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z) وإلى الأقواس من الصنف C1\mathcal{C}^1 بالقطع (بالجمع على القطع).

أمثلة

مثال 20.4 (تكامل واحد، وتوسيمان، وفخ إشارة واحد)

احسب ∫γx  ⁣dy\int_\gamma x\,\dd y على طول نصف دائرة الوحدة العلوي من (1,0)(1, 0) إلى (−1,0)(-1, 0). مع γ(t)=(cos⁡t,sin⁡t)\gamma(t) = (\cos t, \sin t)، t∈[0, π]t \in \intcc0\pi:

∫0πcos⁡t⋅cos⁡t  ⁣dt=π2.\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

وبتوسيم التمثيل البياني x↦(x,1−x2)x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})، xx من 11 إلى −1-1 (انتبه للاتجاه!):

∫1−1x⋅−x1−x2  ⁣dx=∫−11x21−x2  ⁣dx=π2\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

(ويختزله x=sin⁡ux = \sin u إلى تكامل واليس). القيمة نفسها، كما تضمن القضية 20.2 — لكن فقط لأن المسارين يسيران من (1,0)(1,0) إلى (−1,0)(-1,0)؛ فعكس السير يقلب الإشارة. وإغلاق المسار على طول المحور xx (حيث  ⁣dy=0\dd y = 0) لا يضيف شيئا، والمجموع π2\frac\pi2 هو مساحة نصف القرص: وهي أول حالة من صيغ مساحة الحد في مبرهنة غرين–ريمان أدناه.

اقرأ في الفصل ←

مصطلحات ذات صلة