ما معنى الصورة التفاضلية؛ التكامل المنحني؟ — الرياضيات

تعريف 20.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 20 — التكاملات المنحنية والتكاملات المتعددة

ليكن $U \subseteq \R^2$ مفتوحا. الصورة التفاضلية من الدرجة $1$ والصنف $\mathcal{C}^0$ على $U$ هي عبارة $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ حيث $P, Q \colon U \to \R$ متصلتان — وبصورة رسمية، تطبيق متصل من $U$ نحو ثنوي $\R^2$ ، أي $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . ومن أجل قوس $\gamma \colon [a, b] \to U$ من الصنف $\mathcal{C}^1$ ، $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ ، يكون التكامل المنحني للصورة $\omega$ على طول $\gamma$ هو

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

وتمتد التعاريف حرفيا إلى $\R^3$ (الصور $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) وإلى الأقواس من الصنف $\mathcal{C}^1$ بالقطع (بالجمع على القطع).

أمثلة

مثال 20.4 (تكامل واحد، وتوسيمان، وفخ إشارة واحد)

احسب $\int_\gamma x\,\dd y$ على طول نصف دائرة الوحدة العلوي من $(1, 0)$ إلى $(-1, 0)$ . مع $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ ، $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

وبتوسيم التمثيل البياني $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ ، $x$ من $1$ إلى $-1$ (انتبه للاتجاه!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

(ويختزله $x = \sin u$ إلى تكامل واليس). القيمة نفسها، كما تضمن القضية 20.2 — لكن فقط لأن المسارين يسيران من $(1,0)$ إلى $(-1,0)$ ؛ فعكس السير يقلب الإشارة. وإغلاق المسار على طول المحور $x$ (حيث $\dd y = 0$ ) لا يضيف شيئا، والمجموع $\frac\pi2$ هو مساحة نصف القرص: وهي أول حالة من صيغ مساحة الحد في مبرهنة غرين–ريمان أدناه.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة