Qu'est-ce que « Forme différentielle ; intégrale curviligne » ? — Mathématiques

Définition 20.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 20 — Intégrales curvilignes et intégrales multiples

Soit $U \subseteq \R^2$ un ouvert. Une forme différentielle de degré $1$ et de classe $\mathcal{C}^0$ sur $U$ est une expression $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ avec $P, Q \colon U \to \R$ continues — formellement, une application continue de $U$ dans le dual de $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Pour un arc $\mathcal{C}^1$ $\gamma \colon [a, b] \to U$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , l’intégrale curviligne de $\omega$ le long de $\gamma$ est

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

Les définitions s’étendent mot pour mot à $\R^3$ (formes $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) et aux arcs $\mathcal{C}^1$ par morceaux (somme sur les morceaux).

Exemples

Exemple 20.4 (Une intégrale, deux paramétrages, un piège de signe)

Calculons $\int_\gamma x\,\dd y$ le long du demi-cercle unité supérieur de $(1, 0)$ à $(-1, 0)$ . Avec $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Avec le paramétrage par le graphe $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , $x$ allant de $1$ à $-1$ (attention au sens !) :

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ le ramène à une intégrale de Wallis). Même valeur, comme le garantit la Proposition 20.2 — mais seulement parce que les deux parcours vont de $(1,0)$ à $(-1,0)$ ; inverser le sens de parcours change le signe. Refermer le chemin le long de l’axe des $x$ (où $\dd y = 0$ ) n’ajoute rien, et le total $\frac\pi2$ est l’aire du demi-disque : la première occurrence des formules aire-bord de Green-Riemann ci-dessous.

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