Todos los libros

1 Matemáticas de primaria y secundariaCursos 1–9 En línea 2 Matemáticas de secundariaCursos 10–12 En línea 3 Matemáticas universitarias — Grado 1Grado — Año 1 En línea 4 Matemáticas universitarias — Grado 2Grado — Año 2 En línea 5 Matemáticas universitarias — Grado 3Grado — Año 3 En línea

1 Física de primaria y secundariaCursos 1–9 En línea 2 Física de secundariaCursos 10–12 En línea 3 Física universitaria — primer añoGrado — Año 1 En línea 4 Física universitaria — segundo añoGrado — Año 2 En línea 5 Física universitaria — tercer añoGrado — Año 3 En línea

1 Química escolar — Años 1 a 12Cursos 1–12 En línea 2 Química universitaria — primer añoGrado — Año 1 En línea 3 Química universitaria — segundo añoGrado — Año 2 En línea 4 Química universitaria — tercer añoGrado — Año 3 En línea

1 Biología de primaria y secundariaCursos 1–9 En línea 2 Biología de secundariaCursos 10–12 En línea 3 Biología universitaria — primer añoGrado — Año 1 En línea 4 Biología universitaria — segundo añoGrado — Año 2 En línea 5 Biología universitaria — tercer añoGrado — Año 3 En línea

1 Ciencias de la Tierra y del espacio de primaria y secundariaCursos 1–9 En línea 2 Ciencias de la Tierra y del espacio de bachilleratoCursos 10–12 En línea 3 Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — primer añoGrado — Año 1 En línea 4 Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — segundo añoGrado — Año 2 En línea 5 Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — tercer añoGrado — Año 3 En línea

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded MarketsMercados En líneaInglés 2 Markets II: Rates, FX and CreditMercados En líneaInglés 3 Markets III: Commodities, Energy and CryptoMercados En líneaInglés 4 Quantitative MethodsMétodos En líneaInglés 5 Derivatives and VolatilityDerivados En líneaInglés 6 Rates, Credit, XVA and RiskTipos, crédito y riesgo En líneaInglés 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, PortfoliosInvestigación En líneaInglés 8 Strategies I: Equities and FuturesEstrategias En líneaInglés 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank DesksEstrategias En líneaInglés 10 Microstructure and ExecutionEjecución En líneaInglés 11 Market Making and High-Frequency TradingMarket making En líneaInglés 12 Machine Learning for MarketsAprendizaje automático En líneaInglés 13 Low-Latency SoftwareTecnología En líneaInglés 14 Networks, Hardware and Trading InfrastructureTecnología En líneaInglés 15 Research, Data and Risk PlatformsTecnología En líneaInglés 16 The Desk and the FirmLa firma En líneaInglés 17 The Industry: Firms, Roles and CareersCarreras En líneaInglés 18 Interviews I: Maths, Probability and SpeedCarreras En líneaInglés 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final RoundCarreras En líneaInglés 20 Interviews III: CodeCarreras En líneaInglés

Todos los juegos Math Fuse Word Reactor Atlas Dash

Apps Acerca de

Coach

English Français Español Nederlands Português हिन्दी العربية Bahasa Indonesia 简体中文 বাংলা

Iniciar sesión Empezar a leer

Matemáticas · Glosario

¿Qué es Forma diferencial; integral curvilínea?

También llamado: forma diferencial · integral curvilínea

Definición 20.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 20 — Integrales curvilíneas e integrales múltiples

Sea $U \subseteq \R^2$ un abierto. Una forma diferencial de grado $1$ y clase $\mathcal{C}^0$ sobre $U$ es una expresión $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ con $P, Q \colon U \to \R$ continuas; formalmente, una aplicación continua de $U$ en el dual de $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Para un arco $\mathcal{C}^1$ $\gamma \colon [a, b] \to U$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , la integral curvilínea de $\omega$ a lo largo de $\gamma$ es

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

Las definiciones se extienden palabra por palabra a $\R^3$ (formas $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) y a los arcos $\mathcal{C}^1$ a trozos (sumando sobre los trozos).

Ejemplos

Ejemplo 20.4 (Una integral, dos parametrizaciones, una trampa de signo)

Calculemos $\int_\gamma x\,\dd y$ a lo largo de la semicircunferencia unidad superior de $(1, 0)$ a $(-1, 0)$ . Con $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Con la parametrización por el grafo $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , con $x$ de $1$ a $-1$ (¡atención al sentido!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ la reduce a una integral de Wallis). El mismo valor, como garantiza la Proposición 20.2; pero solo porque ambos recorridos van de $(1,0)$ a $(-1,0)$ : invertir el sentido cambia el signo. Cerrar el camino a lo largo del eje $x$ (donde $\dd y = 0$ ) no añade nada, y el total $\frac\pi2$ es el área del semidisco: el primer caso de las fórmulas de área por la frontera de Green–Riemann de más abajo.

Leer en el capítulo →