¿Qué es Forma diferencial; integral curvilínea? — Matemáticas

Definición 20.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 20 — Integrales curvilíneas e integrales múltiples

Sea $U \subseteq \R^2$ un abierto. Una forma diferencial de grado $1$ y clase $\mathcal{C}^0$ sobre $U$ es una expresión $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ con $P, Q \colon U \to \R$ continuas; formalmente, una aplicación continua de $U$ en el dual de $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Para un arco $\mathcal{C}^1$ $\gamma \colon [a, b] \to U$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , la integral curvilínea de $\omega$ a lo largo de $\gamma$ es

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

Las definiciones se extienden palabra por palabra a $\R^3$ (formas $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) y a los arcos $\mathcal{C}^1$ a trozos (sumando sobre los trozos).

Ejemplos

Ejemplo 20.4 (Una integral, dos parametrizaciones, una trampa de signo)

Calculemos $\int_\gamma x\,\dd y$ a lo largo de la semicircunferencia unidad superior de $(1, 0)$ a $(-1, 0)$ . Con $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Con la parametrización por el grafo $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , con $x$ de $1$ a $-1$ (¡atención al sentido!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ la reduce a una integral de Wallis). El mismo valor, como garantiza la Proposición 20.2; pero solo porque ambos recorridos van de $(1,0)$ a $(-1,0)$ : invertir el sentido cambia el signo. Cerrar el camino a lo largo del eje $x$ (donde $\dd y = 0$ ) no añade nada, y el total $\frac\pi2$ es el área del semidisco: el primer caso de las fórmulas de área por la frontera de Green–Riemann de más abajo.

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Ejemplos

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