Apa itu Bentuk diferensial; integral garis? — Matematika

Definisi 20.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 20 — Integral Garis dan Integral Lipat

Misalkan $U \subseteq \R^2$ terbuka. Sebuah bentuk diferensial berderajat $1$ dan berkelas $\mathcal{C}^0$ pada $U$ adalah ungkapan $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ dengan $P, Q \colon U \to \R$ yang kontinu — secara formal, sebuah pemetaan kontinu dari $U$ ke dual $\R^2$ , yakni $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Untuk sebuah busur $\mathcal{C}^1$ $\gamma \colon [a, b] \to U$ dengan $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , integral garis bagi $\omega$ sepanjang $\gamma$ adalah

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

Definisinya meluas kata demi kata ke $\R^3$ (dengan bentuk $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) dan ke busur $\mathcal{C}^1$ sepotong-sepotong (yakni jumlah atas kepingnya).

Contoh

Contoh 20.4 (Satu integral, dua parameterisasi, satu jebakan tanda)

Hitunglah $\int_\gamma x\,\dd y$ sepanjang setengah lingkaran satuan atasnya dari $(1, 0)$ ke $(-1, 0)$ . Dengan $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ dan $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Sedangkan dengan parameterisasi grafiknya $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , dengan $x$ dari $1$ ke $-1$ (perhatikan arahnya!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

(sebab $x = \sin u$ menyusutkannya menjadi integral Wallis). Jadi nilainya sama, sebagaimana dijamin Proposisi 20.2 — tetapi hanya karena kedua jalannya berangkat dari $(1,0)$ ke $(-1,0)$ ; sebab membalik perjalanannya membalik tandanya. Adapun menutup lintasannya sepanjang sumbu- $x$ (tempat $\dd y = 0$ ) tak menambahkan apa pun, dan totalnya $\frac\pi2$ adalah luas setengah cakramnya: yakni wujud pertama bagi rumus luas perbatasan Green–Riemann di bawah.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait