Alle boeken

Professioneel

Apps Over Coach Inloggen Begin met lezen

Wiskunde · Begrippenlijst

Wat is Differentiaalvorm; lijnintegraal?

Ook bekend als: differentiaalvorm · lijnintegraal

Definitie 20.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 20 — Lijnintegralen en meervoudige integralen

Zij U⊆R2U \subseteq \R^2 open. Een differentiaalvorm van graad 11 en van klasse C0\mathcal{C}^0 op UU is een uitdrukking ω=P  ⁣dx+Q  ⁣dy\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y met P,Q ⁣:U→RP, Q \colon U \to \R continu — formeel een continue afbeelding van UU in de duale ruimte van R2\R^2, ω(M)=P(M) e1∗+Q(M) e2∗\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*. Voor een C1\mathcal{C}^1-boog γ ⁣:[a,b]→U\gamma \colon [a, b] \to U, γ(t)=(x(t),y(t))\gamma(t) = (x(t), y(t)), is de lijnintegraal van ω\omega langs γ\gamma

∫γω=∫ab(P(γ(t)) x′(t)+Q(γ(t)) y′(t))  ⁣dt.\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

De definities breiden woordelijk uit tot R3\R^3 (vormen P  ⁣dx+Q  ⁣dy+R  ⁣dzP\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z) en tot stuksgewijs C1\mathcal{C}^1-bogen (som over de stukken).

Voorbeelden

Voorbeeld 20.4 (Eén integraal, twee parametriseringen, één tekenval)

Bereken ∫γx  ⁣dy\int_\gamma x\,\dd y langs de bovenste eenheidshalfcirkel van (1,0)(1, 0) naar (−1,0)(-1, 0). Met γ(t)=(cos⁡t,sin⁡t)\gamma(t) = (\cos t, \sin t), t∈[0, π]t \in \intcc0\pi:

∫0πcos⁡t⋅cos⁡t  ⁣dt=π2.\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Met de grafiekparametrisering x↦(x,1−x2)x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2}), xx van 11 naar −1-1 (let op de richting!):

∫1−1x⋅−x1−x2  ⁣dx=∫−11x21−x2  ⁣dx=π2\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

(x=sin⁡ux = \sin u herleidt haar tot een integraal van Wallis). Dezelfde waarde, zoals Propositie 20.2 waarborgt — maar alleen omdat beide doorlopen van (1,0)(1,0) naar (−1,0)(-1,0) gaan; de reis omkeren keert het teken om. Het pad sluiten langs de xx-as (waar  ⁣dy=0\dd y = 0) voegt niets toe, en het totaal π2\frac\pi2 is de oppervlakte van de halve schijf: het eerste geval van de randformules voor oppervlakten van Green–Riemann hieronder.

Lees in het hoofdstuk →

Verwante begrippen