Wat is Differentiaalvorm; lijnintegraal? — Wiskunde

Definitie 20.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 20 — Lijnintegralen en meervoudige integralen

Zij $U \subseteq \R^2$ open. Een differentiaalvorm van graad $1$ en van klasse $\mathcal{C}^0$ op $U$ is een uitdrukking $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ met $P, Q \colon U \to \R$ continu — formeel een continue afbeelding van $U$ in de duale ruimte van $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Voor een $\mathcal{C}^1$ -boog $\gamma \colon [a, b] \to U$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , is de lijnintegraal van $\omega$ langs $\gamma$

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

De definities breiden woordelijk uit tot $\R^3$ (vormen $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) en tot stuksgewijs $\mathcal{C}^1$ -bogen (som over de stukken).

Voorbeelden

Voorbeeld 20.4 (Eén integraal, twee parametriseringen, één tekenval)

Bereken $\int_\gamma x\,\dd y$ langs de bovenste eenheidshalfcirkel van $(1, 0)$ naar $(-1, 0)$ . Met $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Met de grafiekparametrisering $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , $x$ van $1$ naar $-1$ (let op de richting!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ herleidt haar tot een integraal van Wallis). Dezelfde waarde, zoals Propositie 20.2 waarborgt — maar alleen omdat beide doorlopen van $(1,0)$ naar $(-1,0)$ gaan; de reis omkeren keert het teken om. Het pad sluiten langs de $x$ -as (waar $\dd y = 0$ ) voegt niets toe, en het totaal $\frac\pi2$ is de oppervlakte van de halve schijf: het eerste geval van de randformules voor oppervlakten van Green–Riemann hieronder.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen