अवकल रूप; रेखा समाकल क्या है? — गणित

परिभाषा 20.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 20 — रेखा समाकल और बहुक समाकल

मान लीजिए $U \subseteq \R^2$ विवृत है। $U$ पर घात $1$ तथा वर्ग $\mathcal{C}^0$ का अवकल रूप कोई व्यंजक $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ है, जहाँ $P, Q \colon U \to \R$ संतत हैं — औपचारिक रूप से, $U$ से $\R^2$ के द्वैत $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ में कोई संतत प्रतिचित्रण। किसी $\mathcal{C}^1$ चाप $\gamma \colon [a, b] \to U$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , के लिए $\gamma$ के अनुदिश $\omega$ का रेखा समाकल है

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

परिभाषाएँ अक्षरशः $\R^3$ तक (रूप $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) तथा खंडशः $\mathcal{C}^1$ चापों तक (टुकड़ों पर योग) फैल जाती हैं।

उदाहरण

उदाहरण 20.4 (एक समाकल, दो प्राचलन, एक चिह्न-जाल)

$(1, 0)$ से $(-1, 0)$ तक ऊपरी इकाई अर्धवृत्त के अनुदिश $\int_\gamma x\,\dd y$ परिकलित कीजिए। $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ के साथ:

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

ग्राफ़-प्राचलन $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ के साथ, जहाँ $x$ $1$ से $-1$ तक जाता है (दिशा पर ध्यान दीजिए!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ उसे किसी वालिस समाकल तक सिमटा देता है)। वही मान, जैसा प्रतिज्ञप्ति 20.2 आश्वस्त करती है — पर केवल इसलिए कि दोनों बार यात्रा $(1,0)$ से $(-1,0)$ तक हुई; यात्रा उलटने पर चिह्न पलट जाता है। पथ को $x$ -अक्ष के अनुदिश बंद करने से (जहाँ $\dd y = 0$ ) कुछ नहीं जुड़ता, और कुल $\frac\pi2$ अर्धचक्रिका का क्षेत्रफल है: नीचे दिए ग्रीन–रीमान के सीमा-क्षेत्रफल सूत्रों का पहला उदाहरण।

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उदाहरण

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