O que é Forma diferencial; integral de linha? — Matemática

Definição 20.1 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 20 — Integrais de linha e integrais múltiplas

Seja $U \subseteq \R^2$ um aberto. Uma forma diferencial de grau $1$ e classe $\mathcal{C}^0$ em $U$ é uma expressão $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ com $P, Q \colon U \to \R$ contínuas — formalmente, uma aplicação contínua de $U$ no dual de $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Para um arco $\gamma \colon [a, b] \to U$ de classe $\mathcal{C}^1$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , a integral de linha de $\omega$ ao longo de $\gamma$ é

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

As definições se estendem literalmente a $\R^3$ (formas $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) e a arcos $\mathcal{C}^1$ por pedaços (soma sobre os pedaços).

Exemplos

Exemplo 20.4 (Uma integral, duas parametrizações, uma armadilha de sinal)

Calcule $\int_\gamma x\,\dd y$ ao longo do semicírculo unitário superior de $(1, 0)$ a $(-1, 0)$ . Com $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Com a parametrização por gráfico $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , $x$ indo de $1$ a $-1$ (atenção ao sentido!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ a reduz a uma integral de Wallis). Mesmo valor, como a Proposição 20.2 garante — mas só porque os dois percursos vão de $(1,0)$ a $(-1,0)$ ; inverter o sentido troca o sinal. Fechar o caminho ao longo do eixo $x$ (em que $\dd y = 0$ ) não acrescenta nada, e o total $\frac\pi2$ é a área do semidisco: a primeira instância das fórmulas de área pelo bordo de Green–Riemann abaixo.

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Exemplos

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