المتغير العشوائي المتقطع؛ القانون কী?

مثال 22.2 (القوانين الكلاسيكية)

• برنولي $\mathcal{B}(p)$: $X \in \{0, 1\}$، $\P(X = 1) = p$. وهو الدالة المميزة لحدث.
• ثنائي الحد $\mathcal{B}(n, p)$: $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$، $0 \leq k \leq n$: أي عدد النجاحات في $n$ تجربة برنولي مستقلة (مجلد الثانوية؛ ويُعاد البرهان عليه أدناه عبر مجاميع المتغيرات المستقلة).
• الهندسي $\mathcal{G}(p)$: $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$، $k \in \N^*$: أي رتبة أول نجاح (المثال 21.5).
• بواسون $\mathcal{P}(\lambda)$: $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$، $k \in \N$ — وهو قياس احتمالي بحكم المتسلسلة الأسية. وهو قانون الأحداث النادرة (الفصل 23).

مثال 22.10 (النقل في العمل)

من أجل $X \sim \mathcal P(\lambda)$، احسب $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — فقانون $\frac1{1+X}$ نفسه محرج، لكن مبرهنة النقل لا تطلبه أبدا:

ودرسان. حسابيا: التعرف على متسلسلة أسية مزاحة هو العمل كله — فمبرهنة النقل تختزل آمال $f(X)$ إلى معالجة متسلسلات. وبنيويا: القيمة الساذجة بالتعويض ستكون $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$، والجواب الحقيقي أكبر،

تماما كما تقتضي متراجحة جنسن من أجل الدالة المحدبة $t \mapsto \frac1{1+t}$. فآمال الصور المحدبة تقع فوق القيمة الساذجة بالتعويض، وتجعل مبرهنة النقل مع تحقق من متسلسلة المتراجحة المجردة ملموسة.

مثال 22.12 (الجداءات، مع الاستقلال وبدونه)

نرمي نردين متزنين. فإذا كان $Y$ هو النرد الثاني (المستقل عن الأول)، فإن $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$. أما إذا كان $Y = X$ (أي “جداء” نرد بنفسه)،

فالقانونان الحديان أنفسهما في السيناريوهين، لكن القانونين المشتركين مختلفان، وآملا الجداء مختلفان. والعبرة، وهي جديرة بأن تُنقش: أن $\E(XY)$ دالة تخص الزوج، لا القانونين الحديين — والفرق $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ هو بالضبط، بحسب كونيغ–هويغنز، تباين $\frac{35}{12}$ النرد.