विविक्त यादृच्छिक चर; नियम क्या है?

उदाहरण 22.2 (शास्त्रीय नियम)

• बर्नूली $\mathcal{B}(p)$: $X \in \{0, 1\}$, $\P(X = 1) = p$। किसी घटना का सूचक।
• द्विपद $\mathcal{B}(n, p)$: $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$, $0 \leq k \leq n$: $n$ स्वतंत्र बर्नूली प्रयासों में सफलताओं की संख्या (हाई स्कूल खंड; नीचे स्वतंत्र चरों के योग के द्वारा फिर से सिद्ध)।
• ज्यामितीय $\mathcal{G}(p)$: $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$, $k \in \N^*$: पहली सफलता की कोटि (उदाहरण 21.5)।
• प्वासों $\mathcal{P}(\lambda)$: $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$, $k \in \N$ — जो चरघातांकी श्रेणी से कोई प्रायिकता माप है। विरल घटनाओं का नियम (अध्याय 23)।

उदाहरण 22.10 (अंतरण, काम करता हुआ)

$X \sim \mathcal P(\lambda)$ के लिए $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ परिकलित कीजिए — $\frac1{1+X}$ का नियम स्वयं भद्दा है, पर अंतरण उसे कभी माँगता ही नहीं:

दो सीख। परिकलन की दृष्टि से: किसी खिसकी हुई चरघातांकी श्रेणी को पहचान लेना ही पूरा काम है — अंतरण $f(X)$ की प्रत्याशाओं को श्रेणी के हेर-फेर तक सिमटा देता है। संरचना की दृष्टि से: भोला प्रतिस्थापन-मान $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ होता, और सच्चा उत्तर उससे बड़ा है,

ठीक वैसा ही जैसा उत्तल फलन $t \mapsto \frac1{1+t}$ के लिए जेनसन असमिका माँगती है। उत्तल प्रतिबिंबों की प्रत्याशाएँ भोले प्रतिस्थापन-मान से ऊपर बैठती हैं, और अंतरण के साथ कोई श्रेणी-जाँच उस अमूर्त असमिका को मूर्त बना देती है।

उदाहरण 22.12 (गुणनफल, स्वतंत्रता के साथ और बिना)

दो निष्पक्ष पासे फेंकिए। यदि $Y$ दूसरा पासा हो (जो पहले से स्वतंत्र है), तो $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$। और यदि इसके बदले $Y = X$ हो (पासे का स्वयं से “गुणनफल”), तो

अर्थात् दोनों परिदृश्यों में सीमांत नियम वही, संयुक्त नियम भिन्न, और गुणनफल-प्रत्याशाएँ भिन्न। खुदवा लेने योग्य सार: $\E(XY)$ युग्म का फलनिक है, दोनों सीमांतों का नहीं — और अंतराल $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ ठीक कोनिग–हाइगेंस से पासे का प्रसरण $\frac{35}{12}$ है।