¿Qué es Variable aleatoria discreta; ley? — Matemáticas

Definición 22.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 22 — Variables aleatorias discretas

Sea $(\Omega, \P)$ un espacio de probabilidad numerable. Una variable aleatoria es una aplicación $X \colon \Omega \to E$ ( $E$ un conjunto cualquiera; variable aleatoria real cuando $E = \R$ ). Su ley (o distribución) es la medida de probabilidad $\P_X$ sobre el conjunto numerable $X(\Omega)$ definida por

\P_X(\{x\}) = \P(X = x) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x\}\bigr) .

Ejemplos

Ejemplo 22.2 (Las leyes clásicas)

Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $X \in \{0, 1\}$ , $\P(X = 1) = p$ . La indicatriz de un suceso.
Binomial $\mathcal{B}(n, p)$ : $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ , $0 \leq k \leq n$ : el número de éxitos en $n$ ensayos de Bernoulli independientes (volumen de secundaria; se vuelve a demostrar más abajo mediante sumas de variables independientes).
Geométrica $\mathcal{G}(p)$ : $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ , $k \in \N^*$ : el rango del primer éxito (Ejemplo 21.5).
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ , $k \in \N$ ; una medida de probabilidad por la serie exponencial. La ley de los sucesos raros (Capítulo 23).

Ejemplo 22.10 (La transferencia en acción)

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ , calculemos $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ ; la ley de $\frac1{1+X}$ es incómoda, pero la transferencia no la pide nunca:

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

Dos lecciones. En lo computacional: reconocer una serie exponencial desplazada es todo el trabajo; la transferencia reduce las esperanzas de $f(X)$ a manipulación de series. En lo estructural: el valor ingenuo de sustituir sería $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ , y la respuesta verdadera es mayor,

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

exactamente como exige la desigualdad de Jensen para la función convexa $t \mapsto \frac1{1+t}$ . Las esperanzas de imágenes convexas quedan por encima del valor ingenuo de sustituir, y la transferencia más una comprobación con series hace concreta la desigualdad abstracta.

Ejemplo 22.12 (Productos, con y sin independencia)

Lánzense dos dados equilibrados. Si $Y$ es el segundo dado (independiente del primero), $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ . Si, en cambio, $Y = X$ (el “producto” de un dado consigo mismo),

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

las mismas leyes marginales en ambos escenarios, leyes conjuntas distintas y esperanzas del producto distintas. La moraleja, digna de grabarse: $\E(XY)$ es un funcional del par, no de las dos marginales; y la diferencia $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ es, por König–Huygens, precisamente la varianza $\frac{35}{12}$ del dado.

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Ejemplos

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