Wat is Discrete toevalsveranderlijke; verdeling?

Voorbeeld 22.2 (De klassieke verdelingen)

• Bernoulli $\mathcal{B}(p)$: $X \in \{0, 1\}$, $\P(X = 1) = p$. De indicator van een gebeurtenis.
• Binomiaal $\mathcal{B}(n, p)$: $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$, $0 \leq k \leq n$: het aantal successen in $n$ onafhankelijke bernoulli-experimenten (bovenbouwvolume; hieronder opnieuw bewezen via sommen van onafhankelijke veranderlijken).
• Meetkundig $\mathcal{G}(p)$: $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$, $k \in \N^*$: de rang van het eerste succes (Voorbeeld 21.5).
• Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$: $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$, $k \in \N$ — een kansmaat wegens de exponentiële reeks. De verdeling van de zeldzame gebeurtenissen (Hoofdstuk 23).

Voorbeeld 22.10 (Overdracht in actie)

Bereken voor $X \sim \mathcal P(\lambda)$ de waarde $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — de verdeling van $\frac1{1+X}$ zelf is onhandig, maar de overdracht vraagt er nooit naar:

Twee lessen. Rekenkundig: een verschoven exponentiële reeks herkennen is het hele werk — de overdracht herleidt verwachtingswaarden van $f(X)$ tot het hanteren van reeksen. Structureel: de naïeve invulwaarde zou $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ zijn, en het echte antwoord is groter,

precies zoals de ongelijkheid van Jensen voor de convexe functie $t \mapsto \frac1{1+t}$ eist. Verwachtingswaarden van convexe beelden liggen boven de naïeve invulwaarde, en de overdracht plus een reekscontrole maakt de abstracte ongelijkheid concreet.

Voorbeeld 22.12 (Producten, met en zonder onafhankelijkheid)

Gooi met twee eerlijke dobbelstenen. Is $Y$ de tweede dobbelsteen (onafhankelijk van de eerste), dan is $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$. Is daarentegen $Y = X$ (het “product” van een dobbelsteen met zichzelf), dan is

dezelfde marginale verdelingen in beide scenario’s, verschillende gezamenlijke verdelingen, verschillende verwachtingswaarden van het product. De moraal, het onthouden waard: $\E(XY)$ is een functionaal van het paar, niet van de twee marginalen — en het gat $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ is volgens König–Huygens precies de variantie $\frac{35}{12}$ van de dobbelsteen.