Qu'est-ce que « Variable aléatoire discrète ; loi » ? — Mathématiques

Définition 22.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 22 — Variables aléatoires discrètes

Soit $(\Omega, \P)$ un espace probabilisé dénombrable. Une variable aléatoire est une application $X \colon \Omega \to E$ ( $E$ un ensemble quelconque ; variable aléatoire réelle lorsque $E = \R$ ). Sa loi (ou distribution) est la mesure de probabilité $\P_X$ sur l’ensemble dénombrable $X(\Omega)$ définie par

\P_X(\{x\}) = \P(X = x) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x\}\bigr) .

Exemples

Exemple 22.2 (Les lois classiques)

Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $X \in \{0, 1\}$ , $\P(X = 1) = p$ . Indicatrice d’un événement.
Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ , $0 \leq k \leq n$ : nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes (volume du secondaire ; redémontrée plus bas via des sommes de variables indépendantes).
Géométrique $\mathcal{G}(p)$ : $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ , $k \in \N^*$ : rang du premier succès (Exemple 21.5).
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ , $k \in \N$ — une mesure de probabilité par la série exponentielle. La loi des événements rares (Chapitre 23).

Exemple 22.10 (Le transfert à l’œuvre)

Pour $X \sim \mathcal P(\lambda)$ , calculons $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — la loi de $\frac1{1+X}$ elle-même est malaisée, mais le transfert ne la demande jamais :

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

Deux leçons. Sur le plan du calcul : reconnaître une série exponentielle décalée est tout le travail — le transfert réduit les espérances de $f(X)$ à des manipulations de séries. Sur le plan structurel : la valeur naïve par substitution serait $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ , et la vraie réponse est plus grande,

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

exactement comme l’exige l’inégalité de Jensen pour la fonction convexe $t \mapsto \frac1{1+t}$ . Les espérances des images convexes se situent au-dessus de la valeur naïve par substitution, et le transfert plus une vérification de série rend concrète l’inégalité abstraite.

Exemple 22.12 (Produits, avec et sans indépendance)

On lance deux dés équilibrés. Si $Y$ est le second dé (indépendant du premier), $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ . Si au contraire $Y = X$ (le « produit » d’un dé avec lui-même),

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

mêmes lois marginales dans les deux scénarios, lois jointes différentes, espérances des produits différentes. La morale, digne d’être gravée : $\E(XY)$ est une fonctionnelle du couple, non des deux marginales — et l’écart $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ est, par König–Huygens, précisément la variance $\frac{35}{12}$ du dé.

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Exemples

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