O que é Variável aleatória discreta; lei?

Exemplo 22.2 (As leis clássicas)

• Bernoulli $\mathcal{B}(p)$: $X \in \{0, 1\}$, $\P(X = 1) = p$. Indicadora de um evento.
• Binomial $\mathcal{B}(n, p)$: $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$, $0 \leq k \leq n$: número de sucessos em $n$ provas de Bernoulli independentes (volume do ensino médio; redemonstrada abaixo via somas de variáveis independentes).
• Geométrica $\mathcal{G}(p)$: $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$, $k \in \N^*$: posição do primeiro sucesso (Exemplo 21.5).
• Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$: $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$, $k \in \N$ — uma medida de probabilidade pela série exponencial. A lei dos eventos raros (Capítulo 23).

Exemplo 22.10 (Transferência em ação)

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$, calcule $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — a lei do próprio $\frac1{1+X}$ é desajeitada, mas a transferência nunca a pede:

Duas lições. Computacional: reconhecer uma série exponencial deslocada é todo o trabalho — a transferência reduz esperanças de $f(X)$ a manipulação de séries. Estrutural: o valor ingênuo por substituição seria $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$, e a resposta verdadeira é maior,

exatamente como exige a desigualdade de Jensen para a função convexa $t \mapsto \frac1{1+t}$. As esperanças de imagens convexas ficam acima do valor ingênuo por substituição, e a transferência mais uma verificação de séries torna concreta a desigualdade abstrata.

Exemplo 22.12 (Produtos, com e sem independência)

Lance dois dados honestos. Se $Y$ é o segundo dado (independente do primeiro), $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$. Se, em vez disso, $Y = X$ (o “produto” de um dado consigo mesmo),

mesmas leis marginais nos dois cenários, leis conjuntas diferentes, esperanças de produto diferentes. A moral, digna de ser gravada: $\E(XY)$ é um funcional do par, não das duas marginais — e a diferença $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ é, por König–Huygens, precisamente a variância $\frac{35}{12}$ do dado.