المناطق الأولية কী?

مثال 20.12

على المثلث $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$:

وبتبديل الترتيب ($x$ من $y$ إلى $1$): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — القيمة نفسها، بحساب مختلف: فحسن اختيار ترتيب المكاملة نصف الحرفة.

مثال 20.13 (عندما ينجح ترتيب واحد فقط)

احسب $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$. فكما هو مكتوب، ليس للتكامل الداخلي $\int\eu^{y^2}\dd y$ دالة أصلية أولية: ويتوقف الحساب. لكن المنطقة هي المثلث $0 \leq x \leq y \leq 1$، وهو أولي في الاتجاهين؛ وبتبديل الترتيب،

لم يظهر المتغير الداخلي $x$ في أي موضع من الدالة تحت التكامل، ومنه فإن مكاملته أولا أنتجت بالضبط العامل $y$ الذي يجعل التكامل الخارجي فوريا. والعبرة: فوبيني ليست مجرد ترخيص بالتكرار — بل هي ترخيص بالاختيار، والترتيب الصحيح قد يحول تكاملا مستحيلا إلى سطر واحد. فارسم المنطقة دائما واقرأ وصفيها قبل البدء.

مثال 20.18 (تغييرات المتغيرات الأفينية)

من أجل تطبيق أفيني $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ مع $M$ قابلة للقلب، يكون الجاكوبي هو المصفوفة الثابتة $M$: ومنه تُضرب المساحات في العامل الثابت $\abs{\det M}$ — فالوعد المقطوع في الفصل 17 صار الآن مبرهنة. واستعمالان فوريان. فالأهليلج $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ هو صورة قرص الوحدة بالتطبيق $(u, v) \mapsto (au, bv)$، ومنه فمساحته $ab \cdot \pi$ — دون أي حساب. ومن أجل تكامل $f(x + y)$ على المربع $K = \intcc01^2$، يحول القصّ $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (ومحدده $1$) التكامل إلى تكامل $f(u)$ على متوازي أضلاع، تشرّحه مبرهنة فوبيني عند $u$ ثابت: فمع $f = \exp$،

كما تؤكد البنية الجدائية. واختيار إحداثيات ملائمة للدالة تحت التكامل — لا للمنطقة — هو النصف الآخر من الحرفة.