ما معنى تساوي الاتصال؟ — الرياضيات

تعريف 7.10 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 7 — الفضاءات التامة: بير، أسكولي، ستون–فايرشتراس

تكون عائلة $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ متساوية الاتصال إذا وُجد، من أجل كل $\varepsilon > 0$ ، عددٌ $\delta > 0$ بحيث

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{من أجل \emph{كل} } f \in \mathcal F

(أي $\delta$ واحد للعائلة كلها — مثل أي عائلة لها ثابت ليبشيتز مشترك، أو معامل هولدر مشترك)، وتكون محدودة نقطةً نقطة إذا كان $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ من أجل كل $x$ .

أمثلة

مثال 7.12

الكرة الواحدية المغلقة من $\mathcal C(\intcc01)$ ليست متراصة (فليس للمتتالية $f_n(x) = x^n$ متتالية جزئية متقاربة بانتظام: لأن النهاية نقطةً نقطة غير متصلة)، وبالفعل فإن $(x^n)$ ليست متساوية الاتصال عند $1$ . وفي المقابل، المجموعة $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ متراصة: فهي محدودة ومتساوية الاتصال بثابت ليبشيتز $1$ ، وهي مغلقة. وتفسّر مبرهنة أسكولي لماذا يخفق التراص في البُعد اللامنتهي (ريس، السنة الجامعية 2) وما الذي يجب إضافته لاستعادته: معامل اتصال منتظم.

اقرأ في الفصل ←