7الفضاءات التامة: بير، أسكولي، ستون–فايرشتراس

برهان. من أجل العبارتين: تتقارب متتالية كوشي من المغلقة $F$ في $X$، وتقع نهايتها، الملتصقة بالمجموعة $F$، في $F$؛ وتكون متتالية متقاربة في $X$ من جزء تام $A$ متتاليةَ كوشي، فتتقارب في $A$، والنهايات وحيدة. ∎

برهان. الوحدانية: يتوافق تمديدان متصلان على $D$ الكثيفة، ومنه في كل مكان (لأن مجموعة التوافق $\{g = h\}$ مغلقة: بوصفها سابق القطر المغلق بالتطبيق $x\mapsto(g(x), h(x))$). الوجود: من أجل $x \in X$ نختار $d_n \to x$ مع $d_n \in D$. وتكون المتتالية $(f(d_n))$ متتالية كوشي: إذ إذا أُعطي $\varepsilon$، أعطى الاتصال المنتظم $\delta$ يحقق $d(u,v) < \delta \Rightarrow d(f(u), f(v)) < \varepsilon$، والمتتالية $(d_n)$ متتالية كوشي. نضع $\bar f(x) = \lim f(d_n)$؛ ولا تتعلق النهاية بالمتتالية المختارة (بتشبيك متتاليتين). ويمدّد $\bar f$ التطبيقَ $f$ (بالمتتاليات الثابتة) ويرث معامل اتصاله: إذ إذا كان $d(x, x') < \delta$، أعطى تقريب كليهما بنقط من $D$ على مسافة $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ أن $d(\bar f(x), \bar f(x')) \leq \varepsilon$ بالنهاية — أي إن $\bar f$ متصل بانتظام. ∎

برهان. الوجود. لتكن $\mathcal X$ مجموعة متتاليات كوشي في $X$، مزوَّدةً بشبه المسافة

والنهاية موجودة لأن $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)} \leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ يجعل المتتالية الحقيقية متتالية كوشي. نضع $\hat X = \mathcal X/{\sim}$، بمطابقة المتتاليات التي المسافة $D$ بينها معدومة؛ فينزل $D$ إلى مسافة. ونغمر $X$ بالمتتاليات الثابتة: وهو تقييس، صورته كثيفة (إذ تُقرَّب متتالية كوشي بالمسافة $D$ بالثوابت المبنية على حدودها نفسها: $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$ حين $k \to \infty$ بصفة كوشي). وأما تمام $\hat X$: فلتكن $(\xi^k)$ متتالية كوشي في $\hat X$؛ نختار بالكثافة $x_k \in X$ يحقق $D(\xi^k, x_k) \leq 2^{-k}$؛ عندئذٍ تكون $(x_k)$ متتالية كوشي في $X$ (بمتراجحة المثلث عبر العناصر $\xi$)، فتعرّف نقطة $\xi \in \hat X$، ويكون $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (لأن المسافة من الثابت $x_k$ إلى صنف $(x_j)_j$ هي $\lim_j d(x_k, x_j)$، وهي صغيرة من أجل $k$ كبير).

الوحدانية: يحتوي إتمامان $\hat X_1, \hat X_2$ على $X$ كثيفةً؛ ويكون تطابق $X$، وهو تقييس، متصلًا بانتظام، ومنه يمتد إلى $\hat X_1 \to \hat X_2$ (المبرهنة 7.2)، ويبقى تقييسًا على مجموعة كثيفة ومنه في كل مكان؛ وبالتناظر في الاتجاه الآخر، ويُثبّت المركّبان $X$ الكثيفة: أي إنهما التطابقان. ∎

برهان. (برهنت السنة الجامعية 2 على ذلك؛ ونعيد تسجيل الحجّة ذات السطرين اكتفاءً ذاتيًا.) يحقق المدار $x_{n+1} = f(x_n)$ العلاقةَ $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$، ومنه فهو متتالية كوشي (بمتسلسلة هندسية)؛ ونهايته $x^*$ صامدة (باتصال $f$)، ووحيدة لأن نقطتين صامدتين تحققان $d \leq k\,d$. وأما السرعة: فبجمع الذيل الهندسي. ∎

برهان. لتكن $(U_n)$ مفتوحات كثيفة ولتكن $B_0 = B(x_0, r_0)$ أي كرة مفتوحة؛ سنجد نقطة من $\bigcap U_n$ في $B_0$. وبالتتابع: بما أن $U_{n}$ كثيفة ومفتوحة، فهي تلاقي الكرة المفتوحة $B_{n-1}$ في مجموعة مفتوحة، وهذه تحتوي على كرة مغلقة $\bar B(x_n, r_n)$ مع $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ و $\bar B(x_n, r_n) \subseteq B_{n-1}\cap U_n$. وتشكّل المراكز متتالية كوشي (لأن $x_m \in B_n$ من أجل $m \geq n$، وأنصاف الأقطار $\to 0$)؛ وتقع النهاية $x$ في كل $\bar B(x_n, r_n)$ (بالانغلاق)، ومنه في كل $U_n$ وفي $B_0$. وأما الصيغة الثانية: فإذا لم يكن لأي $F_n$ داخل، كانت $U_n = X \setminus F_n$ مفتوحة وكثيفة، وأفلتت نقطة من $\bigcap U_n$ من $\bigcup F_n = X$: وهو سخف. ∎

برهان. (a) إن $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ على مجموعة قابلة للعدّ سيجعل داخل مجموعة أحادية ما غير خالٍ. (b) إذا كان $\Q = \bigcap_n V_n$ مع $V_n$ مفتوحة (وهي كثيفة بالضرورة، لأنها $\supseteq \Q$)، فإن المجموعات $V_n$ والمتممات $\R\setminus\{q\}$ مع $q \in \Q$ تشكّل عائلة قابلة للعدّ من المفتوحات الكثيفة تقاطعها خالٍ — وهذا يناقض بير. وإذا كان $X$ تامًّا بلا نقط معزولة وقابلًا للعدّ، أظهره $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ بوصفه اتحادًا قابلًا للعدّ لمجموعات مغلقة داخلها خالٍ (لعدم وجود نقط معزولة): وهي مبرهنة بير مرة أخرى. ∎

برهان. من أجل $n \geq 1$ نضع

إذا كان $f$ قابلًا للاشتقاق عند $x$، فإن $f \in F_n$ من أجل $n$ ما: إذ إن النسبة $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ محدودة من أجل $\abs h \leq \delta$ (بالقابلية للاشتقاق: فهي تؤول إلى $\abs{f'(x)}$) ومحدودة بالمقدار $2\norm f_\infty/\delta$ من أجل $\abs h \geq \delta$. ومنه فإن $\bigcup F_n$ يحتوي على جميع الدوال القابلة للاشتقاق في نقطة ما، ويكفي أن نبيّن أن كل $F_n$ مغلقة وداخلها خالٍ.

مغلقة: ليكن $f_k \to f$ بانتظام مع $f_k \in F_n$ بشواهد $x_k \to x$ (بالتراص، بعد الاستخراج). ومن أجل $h$ يحقق $x + h \in \intcc01$: نختار $h_k \to h$ مع $x_k + h_k \in \intcc01$ (مثلًا $h_k = h + x - x_k$ مقصوصًا)؛ عندئذٍ $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)} \leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$، باستعمال التقارب المنتظم واتصال $f$ عند النقط المعنية: ومنه $f \in F_n$.

داخلها خالٍ: إذا أُعطي $f \in F_n$ و $\varepsilon > 0$، وجدنا $g$ يحقق $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ و $g \notin F_n$. نقرّب أولًا $f$ في حدود $\varepsilon/2$ بدالة تآلفية بالقطع $\varphi$ (بالاتصال المنتظم: بالاستيفاء على شبكة دقيقة)، ميولها محدودة بعدد $M$ ما. ثم نضيف منشارًا صغيرًا: $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$، حيث $s_N(x)$ الدالة المتعرّجة الدورية بالدور $\frac1N$ وسعتها $1$ وميلها $\pm 2N$. وعند كل $x$، يوجد في أحد الجانبين $h$ صغير كما نشاء يسهم فيه المنشار بميل $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 = \pm\varepsilon N$ على $[x, x+h]$: ومنه تتجاوز نسبة تزايد $g$ المقدارَ $\varepsilon N - M > n$ من أجل $N$ كبير. إذن $g \notin F_n$، على أي مسافة منتظمة $\leq \varepsilon$ من $f$. الخلاصة: المجموعة $\bigcup F_n$ هزيلة؛ ومنه فمتممها بمبرهنة بير — وهو مؤلَّف من الدوال غير القابلة للاشتقاق في أي نقطة — كثيفٌ في $\mathcal C(\intcc01)$: أي إن هذه الدوال موجودة بوفرة. ∎

برهان. ($\Leftarrow$) لتكن $(f_k)$ متتالية من $\mathcal F$. الفضاء المتري المتراص $K$ قابل للفصل: إذ يغطّيه، من أجل كل $n$، عددٌ منتهٍ من الكرات ذات نصف القطر $\frac1n$ (المبرهنة 6.16)؛ وتشكّل مراكزها مجموعة قابلة للعدّ كثيفة $D = \{x_1, x_2, \dots\}$. وبالحد نقطةً نقطة وببولتزانو–فايرشتراس، نستخرج بالتتابع متتاليات جزئية تتقارب عند $x_1$، ثم عند $x_2$ أيضًا، وهكذا، ونأخذ المتتالية الجزئية القطرية $(g_j)$: فهي تتقارب عند كل نقطة من $D$. ويرفع تساوي الاتصال ذلك إلى صفة كوشي المنتظمة: إذ إذا أُعطي $\varepsilon$، أخذنا $\delta$ كما في التعريف، وغطّينا $K$ بعدد منتهٍ من الكرات $B(x_i, \delta)$ مع $x_i \in D$ (حيث $i \leq m$)، واخترنا $J$ كبيرًا بحيث $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ من أجل $j, j' \geq J$ و $i \leq m$. ومن أجل $x \in B(x_i, \delta)$ كيفي:

إذن $(g_j)$ متتالية كوشي بانتظام، وتتقارب في الفضاء التام $\mathcal C(K)$. ومن ثَمّ فإن لكل متتالية من $\mathcal F$ متتاليةً جزئية متقاربة: أي إن $\bar{\mathcal F}$ متراص (بالمتتاليات، ومنه حسب المبرهنة 6.16).

($\Rightarrow$) إذا كان $\bar{\mathcal F}$ متراصًّا: فالحد نقطةً نقطة واضح (لأن التقييم متصل). وأما تساوي الاتصال، فنغطّي $\mathcal F$ بعدد منتهٍ من الكرات $B(f_i, \varepsilon)$ من $\mathcal C(K)$؛ وكل $f_i$ متصل بانتظام (هاين، النتيجة 6.17)، فيعطي $\delta$ مشتركًا من أجل $i \leq m$؛ وعندئذٍ من أجل $f \in B(f_i, \varepsilon)$ و $d(x,y) < \delta$: $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon + \norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$. ∎

برهان. لنفترض $f_n \uparrow f$؛ ولتكن $g_n = f - f_n \downarrow 0$، وهي متصلة. إذا أُعطي $\varepsilon$، فإن المجموعات المفتوحة $U_n = \{g_n < \varepsilon\}$ متزايدة وتغطّي $K$ (بالتقارب نقطةً نقطة)؛ نستخرج تغطية جزئية منتهية: $K = U_{n_0}$ من أجل $n_0$ ما (لأن العائلة متزايدة)، أي $0 \leq g_n < \varepsilon$ في كل مكان من أجل $n \geq n_0$. ∎

برهان. نضع $u_0 = 0$ و $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t - u_n(t)^2\bigr)$: وهي كثيرات حدود. وبالتراجع $0 \leq u_n(t) \leq \sqrt t$ على $\intcc01$: فبافتراض ذلك من أجل $n$،

لأن $\sqrt t + u_n \leq 2$؛ و $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$. إذن $(u_n(t))$ غير متناقصة ومحدودة بالمقدار $\sqrt t$: فهي تتقارب نقطةً نقطة، وتحقق النهاية $\ell(t)$ العلاقةَ $\ell = \ell + \frac12(t - \ell^2)$: أي $\ell(t) = \sqrt t$، وهي متصلة. وترفع مبرهنة ديني (المبرهنة المساعدة 7.13) ذلك إلى التقارب المنتظم. ∎

برهان. ليكن $\bar{\mathcal A}$ الغلقَ، وهو جبر أيضًا (لأن جداءات النهايات المنتظمة على مجموعات محدودة تتقارب).

الخطوة 1: $\bar{\mathcal A}$ شبكة، أي صامدة بالعمليتين $\max$ و $\min$. وبما أن $\max(f,g) = \frac{f + g + \abs{f-g}}2$ وكذلك $\min$، يكفي أن يكون $f \in \bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$: فبوضع $M = \norm f_\infty > 0$، $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$، تعطي المبرهنة المساعدة 7.14 كثيرات حدود $u_n$ تحقق $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ بانتظام؛ وكثيرات الحدود في عناصر الجبر (مع الحد الثابت: لأن الثوابت موجودة) تبقى في $\bar{\mathcal A}$.

الخطوة 2: الاستيفاء عند نقطتين. من أجل $x \neq y$ ومن أجل $a, b \in \R$، يوجد $g \in \mathcal A$ يحقق $g(x) = a$ و $g(y) = b$: نأخذ $h$ يفصل $x, y$ ونضع $g = a + (b - a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$.

الخطوة 3. ليكن $f \in \mathcal C(K)$ و $\varepsilon > 0$. من أجل كل زوج $x, y$ نختار $g_{x,y} \in \mathcal A$ يحقق $g_{x,y}(x) = f(x)$ و $g_{x,y}(y) = f(y)$ (الخطوة 2؛ ومن أجل $x = y$ نأخذ الدالة الثابتة $g_{x,x} = f(x)$). نثبّت $x$: فمن أجل كل $y$، تحتوي المجموعة المفتوحة $V_y = \{g_{x,y} < f + \varepsilon\}$ على $y$؛ ويستخرج التراص $y_1, \dots, y_m$ يحقق $K = \bigcup V_{y_j}$، ويحقق $h_x = \min_j g_{x, y_j} \in \bar{\mathcal A}$ (الخطوة 1) العلاقةَ $h_x < f + \varepsilon$ في كل مكان مع $h_x(x) = f(x)$. والآن نغيّر $x$: تكون $W_x = \{h_x > f - \varepsilon\}$ مفتوحة وتحتوي على $x$؛ نستخرج $x_1, \dots, x_l$ تغطّي $K$، وتحقق $h = \max_i h_{x_i} \in \bar{\mathcal A}$ العلاقةَ $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$: أي $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$. ومنه $f \in \bar{\mathcal A}$. ∎

برهان. (a) كثيرات الحدود تشكّل جبرًا يحتوي على الثوابت؛ ودوال الإحداثيات تفصل نقط $\R^n$. (b) يشكّل الجزآن الحقيقي والتخيلي $\frac{f + \bar f}2$ و $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ لعناصر $\mathcal A$ جبرًا حقيقيًا $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ يحتوي على الثوابت؛ وهو يفصل النقط (إذ يفرض $f(x) \ne f(y)$ أن يفصل $\operatorname{Re}f$ أو $\operatorname{Im}f$). نطبّق المبرهنة الحقيقية ونعيد التركيب. (c) ننظر إلى الدوال الدورية بالدور $2\pi$ على أنها $\mathcal C(S^1, \C)$ ($S^1 = \R/2\pi\Z$، وهي متراصة: التمرين 6.5)؛ والجبر المولَّد بالعناصر $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ وبالثوابت صامد بالاقتران ويفصل نقط الدائرة (لأن $\eu^{\iu t}$ متباين عليها). نطبّق (b). ∎