O que é equicontinuidade? — Matemática

Definição 7.10 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 7 — Espaços completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

Uma família $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ é equicontínua se, para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{para \emph{toda} } f \in \mathcal F

(um único $\delta$ para toda a família — por exemplo, qualquer família com uma constante de Lipschitz comum, ou um módulo de Hölder comum), e é pontualmente limitada se $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ para cada $x$ .

Exemplos

Exemplo 7.12

A bola unitária fechada de $\mathcal C(\intcc01)$ não é compacta ( $f_n(x) = x^n$ não tem subsequência uniformemente convergente: o limite pontual é descontínuo) e, com efeito, $(x^n)$ não é equicontínua em $1$ . Em contraste, $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ é compacto: limitado, equicontínuo por serem todas $1$ -lipschitzianas, e fechado. Ascoli explica por que a compacidade falha em dimensão infinita (Riesz, segundo ano) e o que acrescentar para restaurá-la: um módulo de continuidade uniforme.

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