Qu'est-ce que « équicontinuité » ? — Mathématiques

Définition 7.10 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 7 — Espaces complets : Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

Une famille $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ est équicontinue si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{pour \emph{toutes} les } f \in \mathcal F

(un seul $\delta$ pour toute la famille — p. ex. toute famille avec une constante de Lipschitz commune, ou un module de Hölder commun), et bornée ponctuellement si $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ pour chaque $x$ .

Exemples

Exemple 7.12

La boule unité fermée de $\mathcal C(\intcc01)$ n’est pas compacte ( $f_n(x) = x^n$ n’a pas de sous-suite uniformément convergente : la limite ponctuelle est discontinue), et en effet $(x^n)$ n’est pas équicontinue en $1$ . En revanche $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ est compacte : bornée et $1$ -lipschitz-équicontinue, et fermée. Ascoli explique pourquoi la compacité échoue en dimension infinie (Riesz, deuxième année) et quoi ajouter pour la restaurer : un module de continuité uniforme.

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Exemples

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