Wat is equicontinuïteit? — Wiskunde

Definitie 7.10 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 7 — Volledige ruimten: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

Een familie $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ heet equicontinu als er voor elke $\varepsilon > 0$ een $\delta > 0$ is zodanig dat

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{voor \emph{alle} } f \in \mathcal F

(één $\delta$ voor de hele familie — bijvoorbeeld elke familie met een gemeenschappelijke lipschitzconstante of een gemeenschappelijke höldermodulus), en puntsgewijs begrensd als $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ voor elke $x$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 7.12

De gesloten eenheidsbal van $\mathcal C(\intcc01)$ is niet compact ( $f_n(x) = x^n$ heeft geen uniform convergente deelrij: de puntsgewijze limiet is discontinu), en inderdaad is $(x^n)$ niet equicontinu in $1$ . Daartegenover is $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ wél compact: begrensd, equicontinu met lipschitzconstante $1$ , en gesloten. Ascoli verklaart waarom de compactheid in oneindige dimensie faalt (Riesz, bachelorjaar 2) en wat je moet toevoegen om haar te herstellen: een uniforme continuïteitsmodulus.

Lees in het hoofdstuk →