¿Qué es equicontinuidad? — Matemáticas

Definición 7.10 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 7 — Espacios completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

Una familia $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ es equicontinua si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{para \emph{toda} } f \in \mathcal F

(un mismo $\delta$ para toda la familia — por ejemplo, cualquier familia con una constante de Lipschitz común, o con un módulo de Hölder común), y puntualmente acotada si $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ para cada $x$ .

Ejemplos

Ejemplo 7.12

La bola unidad cerrada de $\mathcal C(\intcc01)$ no es compacta ( $f_n(x) = x^n$ no tiene subsucesión uniformemente convergente: el límite puntual es discontinuo) y, en efecto, $(x^n)$ no es equicontinua en $1$ . En cambio, $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ sí es compacto: es acotado, $1$ -equicontinuo por Lipschitz, y cerrado. Ascoli explica por qué falla la compacidad en dimensión infinita (Riesz, segundo año) y qué hay que añadir para restaurarla: un módulo uniforme de continuidad.

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