Apa itu keekuikontinuan? — Matematika

Definisi 7.10 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 7 — Ruang Lengkap: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

Sebuah keluarga $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ disebut ekuikontinu jika untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $\delta > 0$ sedemikian sehingga

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{untuk \emph{setiap} } f \in \mathcal F

(yakni satu $\delta$ untuk seluruh keluarganya — misalnya keluarga apa pun dengan konstanta Lipschitz bersama, atau modulus Hölder bersama), dan disebut terbatas titik demi titik jika $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ untuk setiap $x$ .

Contoh

Contoh 7.12

Bola satuan tertutup di $\mathcal C(\intcc01)$ tidak kompak (sebab $f_n(x) = x^n$ tak punya subbarisan yang konvergen seragam: limit titik demi titiknya tak kontinu), dan memang $(x^n)$ tidak ekuikontinu di $1$ . Sebaliknya $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ bersifat kompak: sebab terbatas dan ekuikontinu lewat Lipschitz- $1$ , serta tertutup. Ascoli menjelaskan mengapa kekompakan gagal pada dimensi tak berhingga (Riesz, Tahun ke-2) dan apa yang harus ditambahkan untuk memulihkannya: yaitu modulus kekontinuan yang seragam.

Baca dalam konteks →