ما معنى علاقة التكافؤ؟

مثال 1.30 (التحقق من البديهيات الثلاث)

على $\R$، نضع $x \mathbin{\mathcal{R}} y$ عندما يكون $x - y \in \Z$. انعكاسية: $x - x = 0 \in \Z$. تماثلية: إذا كان $x - y \in \Z$ فإن $y - x = -(x - y) \in \Z$. متعدّية: إذا كان $x - y \in \Z$ و $y - z \in \Z$ فإن $x - z = (x - y) + (y - z) \in \Z$ (مجموع عددين صحيحين). إذن $\mathcal R$ علاقة تكافؤ، و$\mathrm{cl}(x) = x + \Z = \{x + k : k \in \Z\}$: ويحتوي كل صف على ممثّل واحد بالضبط في $\intco01$، هو جزؤه الكسري. وعلى النقيض من ذلك فالعلاقة «$\abs{x - y} \leq 1$» على $\R$ انعكاسية وتماثلية لكنها غير متعدّية ($0 \mathbin{\mathcal R} 1$ و $1 \mathbin{\mathcal R} 2$، ومع ذلك $\abs{0 - 2} > 1$): فالقرب لا ينتشر، ولا وجود لأيّ تجزئة إلى صفوف — وهو مثال مضاد يحسن استحضاره حين يبدو التحقق من البديهيات أمرًا روتينيًا.

مثال 1.32

على $\Z$، التوافق بترديد $n$ (أي $x \equiv y \pmod n$ عندما يقسم $n$ الفرق $x - y$) علاقةُ تكافؤ؛ وصفوفها هي المجموعات $n$ المكوَّنة من الأعداد الصحيحة ذات باقٍ معطى عند القسمة على $n$. ويصير هذا المثال الحلقة $\Z/n\Z$ في الفصل 7.