Qu'est-ce que « Relation d’équivalence » ?

Exemple 1.30 (Vérifier les trois axiomes)

Sur $\R$, déclarons $x \mathbin{\mathcal{R}} y$ lorsque $x - y \in \Z$. Réflexive : $x - x = 0 \in \Z$. Symétrique : si $x - y \in \Z$ alors $y - x = -(x - y) \in \Z$. Transitive : si $x - y \in \Z$ et $y - z \in \Z$, alors $x - z = (x - y) + (y - z) \in \Z$ (somme d’entiers). Donc $\mathcal R$ est une relation d’équivalence, et $\mathrm{cl}(x) = x + \Z = \{x + k : k \in \Z\}$ : chaque classe contient exactement un représentant dans $\intco01$, sa partie fractionnaire. En revanche, la relation « $\abs{x - y} \leq 1$ » sur $\R$ est réflexive et symétrique mais pas transitive ($0 \mathbin{\mathcal R} 1$ et $1 \mathbin{\mathcal R} 2$, alors que $\abs{0 - 2} > 1$) : la proximité ne se propage pas, et aucune partition en classes n’existe — un contre-exemple utile à garder en tête quand la vérification des axiomes semble routinière.

Exemple 1.32

Sur $\Z$, la congruence modulo $n$ ($x \equiv y \pmod n$ lorsque $n$ divise $x - y$) est une relation d’équivalence ; ses classes sont les $n$ ensembles d’entiers ayant un reste donné dans la division par $n$. Cet exemple devient l’anneau $\Z/n\Z$ au Chapitre 7.