¿Qué es Relación de equivalencia?

Ejemplo 1.30 (Comprobar los tres axiomas)

En $\R$, se declara $x \mathbin{\mathcal{R}} y$ cuando $x - y \in \Z$. Reflexiva: $x - x = 0 \in \Z$. Simétrica: si $x - y \in \Z$, entonces $y - x = -(x - y) \in \Z$. Transitiva: si $x - y \in \Z$ e $y - z \in \Z$, entonces $x - z = (x - y) + (y - z) \in \Z$ (suma de enteros). Así pues, $\mathcal R$ es una relación de equivalencia, y $\mathrm{cl}(x) = x + \Z = \{x + k : k \in \Z\}$: cada clase contiene exactamente un representante en $\intco01$, su parte fraccionaria. En cambio, la relación «$\abs{x - y} \leq 1$» en $\R$ es reflexiva y simétrica, pero no transitiva ($0 \mathbin{\mathcal R} 1$ y $1 \mathbin{\mathcal R} 2$, y sin embargo $\abs{0 - 2} > 1$): la proximidad no se propaga, y no existe ninguna partición en clases — un contraejemplo útil cuando comprobar los axiomas empieza a parecer rutinario.

Ejemplo 1.32

En $\Z$, la congruencia módulo $n$ ($x \equiv y \pmod n$ cuando $n$ divide a $x - y$) es una relación de equivalencia; sus clases son los $n$ conjuntos de enteros con un resto dado en la división por $n$. Este ejemplo se convierte en el anillo $\Z/n\Z$ en el Capítulo 7.