Wat is Equivalentierelatie?

Voorbeeld 1.30 (De drie axioma’s nagaan)

Verklaar op $\R$ dat $x \mathbin{\mathcal{R}} y$ wanneer $x - y \in \Z$. Reflexief: $x - x = 0 \in \Z$. Symmetrisch: is $x - y \in \Z$, dan is $y - x = -(x - y) \in \Z$. Transitief: zijn $x - y \in \Z$ en $y - z \in \Z$, dan is $x - z = (x - y) + (y - z) \in \Z$ (een som van gehele getallen). Dus $\mathcal R$ is een equivalentierelatie, en $\mathrm{cl}(x) = x + \Z = \{x + k : k \in \Z\}$: elke klasse bevat precies één vertegenwoordiger in $\intco01$, haar fractioneel deel. De relatie “$\abs{x - y} \leq 1$” op $\R$ daarentegen is wel reflexief en symmetrisch, maar niet transitief ($0 \mathbin{\mathcal R} 1$ en $1 \mathbin{\mathcal R} 2$, terwijl $\abs{0 - 2} > 1$): nabijheid plant zich niet voort, en een partitie in klassen bestaat niet — een nuttig tegenvoorbeeld om bij de hand te houden wanneer het nagaan van de axioma’s routine begint te lijken.

Voorbeeld 1.32

Op $\Z$ is de congruentie modulo $n$ ($x \equiv y \pmod n$ wanneer $n$ het getal $x - y$ deelt) een equivalentierelatie; haar klassen zijn de $n$ verzamelingen van gehele getallen met een gegeven rest bij deling door $n$. Dit voorbeeld wordt de ring $\Z/n\Z$ in Hoofdstuk 7.