O que é Relação de equivalência?

Exemplo 1.30 (Verificando os três axiomas)

Em $\R$, declare $x \mathbin{\mathcal{R}} y$ quando $x - y \in \Z$. Reflexiva: $x - x = 0 \in \Z$. Simétrica: se $x - y \in \Z$ então $y - x = -(x - y) \in \Z$. Transitiva: se $x - y \in \Z$ e $y - z \in \Z$, então $x - z = (x - y) + (y - z) \in \Z$ (uma soma de inteiros). Logo $\mathcal R$ é uma relação de equivalência, e $\mathrm{cl}(x) = x + \Z = \{x + k : k \in \Z\}$: cada classe contém exatamente um representante em $\intco01$, a sua parte fracionária. Em contrapartida, a relação “$\abs{x - y} \leq 1$” em $\R$ é reflexiva e simétrica, mas não transitiva ($0 \mathbin{\mathcal R} 1$ e $1 \mathbin{\mathcal R} 2$, e no entanto $\abs{0 - 2} > 1$): a proximidade não se propaga, e não existe partição em classes — um contraexemplo útil de se ter em mente quando verificar os axiomas começa a parecer rotina.

Exemplo 1.32

Em $\Z$, a congruência módulo $n$ ($x \equiv y \pmod n$ quando $n$ divide $x - y$) é uma relação de equivalência; suas classes são os $n$ conjuntos de inteiros com um dado resto na divisão por $n$. Este exemplo torna-se o anel $\Z/n\Z$ no Capítulo 7.