7البنى الجبرية

مثال 7.4

$(\Z, +)$ و $(\Q, +)$ و $(\R, +)$ و $(\C, +)$؛ و $(\Q^*, \times)$ و $(\R^*, \times)$ و $(\C^*, \times)$ و$(\mathbb{U}_n, \times)$ (جذور الوحدة، التعريف 3.17)؛ ومجموعة $\mathfrak{S}(E)$ المكوَّنة من تقابلات مجموعة $E$ على نفسها، بالتركيب — وهي الزمرة المتناظرة للمجموعة $E$، وهي غير تبديلية بمجرد أن يكون $\abs E \geq 3$. وليست زمرًا: $(\N, +)$ (فلا مقلوبات)، و $(\Z, \times)$ (فلا يقبل القلب إلا $\pm 1$).

مثال 7.6 (تناظرات المستطيل)

يقبل المستطيل (غير المربع) أربعة تقايسات على نفسه بالضبط: التطبيق المطابق $e$، والتناظر بالنسبة إلى المحور الأفقي $h$، والتناظر بالنسبة إلى المحور العمودي $v$، ونصف الدورة $r$ حول المركز. ويجعل التركيب هذه المجموعة الرباعية زمرة: فكل عنصر مقلوب نفسه ($h^2 = v^2 = r^2 = e$)، ويكون جداء أيّ عنصرين متمايزين غير محايدين هو الثالث ($hv = vh = r$: فالتناظر بالنسبة إلى المحورين هو نصف الدورة). و الجدول الكامل متناظر، فالزمرة تبديلية — ومع ذلك فهي ليست الزمرة نفسها التي هي زمرة الدورانات $\mathbb U_4$ في المثال 7.15: فهناك رتبة $\iu$ تساوي $4$، بينما هنا رتبة كل عنصر $\leq 2$. فزمرتان لهما الحجم نفسه قد يكون لهما بنيتا ضرب مختلفتان حقًّا — ويعرض الرسم أدناه الجدولين جنبًا إلى جنب. وتعود هذه الزمرة الرباعية في صورة $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$، ويشرح التمرين 7.7 لماذا يجب على أيّ زمرة كل مربعاتها محايدة أن تكون، مثل هذه، تبديلية.

مثال 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: فهي غير خالية، ومن أجل $z, w \in \mathbb{U}_n$ لدينا $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. والزمر الجزئية للزمرة $(\Z, +)$ هي بالضبط $n\Z$ (المبرهن عليه في المبرهنة 6.4). وتقاطع زمر جزئية زمرةٌ جزئية دائمًا، لكن اتحادها لا يكون كذلك في الغالب الأعمّ (التمرين 7.6).

مثال 7.12

التطبيق $\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ تشاكل ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$)، وهو تقابليّ (القضية 4.1): فالبنيتان الجمعية والضربية متماثلتان — وهذا هو مبرر وجود اللوغاريتمات تاريخيًا. وتشاكل آخر: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ من $(\R, +)$ على دائرة الوحدة $(\mathbb{U}, \times)$، ونواته $2\pi\Z$.

مثال 7.13 (تشاكل الإشارة)

التطبيق $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ الذي يرسل $x$ إلى إشارته تشاكلٌ: فإشارة الجداء هي جداء الإشارتين. ونواته $\intoo0{+\infty}$ (وهي زمرة جزئية، كما يعد التعريف 7.10)، وصورته كل $\{\pm1\}$: فهو شامل، وغير متباين بإفراط. وفي ذلك درسان عامّان مصغَّران. أولًا، قد يسحق التشاكل المعلومة: فالتطبيق $s$ لا يتذكر من $x$ إلا بتّة واحدة، وتلك فضيلته — إذ إن حجج الإشارة هي بالضبط الحسابات التي تمرّ عبر $s$. وثانيًا، التشاكلات نحو $\{\pm1\}$ هي أبسط «الثوابت»: فتوقيع التبديلات، المبنيّ في مسألة نهاية الأسبوع من هذا الفصل، هو الظاهرة نفسها على الزمرة $\mathfrak S_n$، وكل حجج الزوجية التي يشغّلها تنحدر عبر تشاكل ثنائي القيمة كهذا.

مثال 7.15

في $(\C^*, \times)$: رتبة $\iu$ هي $4$، مع $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$؛ وبعمومية أكبر، رتبة $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ هي $n$ و$\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. وفي $(\Z, +)$، لكل $x \neq 0$ رتبة لا نهائية. ولماذا تصحّ الدعاوى الواردة في التعريف: إذا كانت رتبة $x$ هي $m$، فاقسم أيّ $k$ على $m$ (أي $k = mq + r$ حيث $0 \leq r < m$، المبرهنة 6.2): عندئذ $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$، فتدور القوى بدور $m$، وتكون العناصر المسرودة متمايزة مثنى مثنى بأصغرية $m$، ويفرض $x^k = e$ أن $r = 0$. وتُحسب رتب التبديلات في مسألة نهاية الأسبوع أدناه.

مثال 7.16 (الرتب داخل $\mathbb U_{12}$)

ما رتبة $\omega^k$ في $\mathbb U_n$، من أجل $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$؟ لدينا $(\omega^k)^m = 1$ إذا وفقط إذا كان $n \mid km$، و بكتابة $d = \gcd(n, k)$ و $n = dn'$ و $k = dk'$ حيث $\gcd(n', k') = 1$: يكون $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (بمبرهنة غاوس المساعدة، المبرهنة 6.8). وأصغر $m \geq 1$ كهذا هو $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. ففي $\mathbb U_{12}$ مثلًا، رتبة $\omega^8$ هي $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (وبالفعل $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$)، بينما رتبة $\omega^5$ هي $12$: فهو يولّد الزمرة كلها، وإن لم يكن المولّد «المعياري». وعدّ المولّدات — أي الأعداد $k$ التي تحقق $\gcd(k, n) = 1$ — يستعيد عدّ الأعداد الأولية فيما بينها في المثال 2.25: فتلتقي نظرية الزمر بالعدّ.

مثال 7.18

المجموعات $\Z, \Q, \R, \C$ حلقات تبديلية؛ و$\Z^\times = \{1, -1\}$ و $\Q^\times = \Q^*$. ولاحقًا: حلقات كثيرات الحدود $K[X]$ (الفصل 8)، وحلقات المصفوفات (وهي غير تبديلية، الفصل 21)، و $\Z/n\Z$ أدناه. وفي كل حلقة، $0 \times a = 0$ (من التوزيعية: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$)، و $(-1)a = -a$.

مثال 7.19 (العناصر الجامدة: ظواهر جديدة في حلقات جديدة)

في $\Z$، ليس للمعادلة $x^2 = x$، أي $x(x - 1) = 0$، إلا الحلان $0$ و $1$. وفي $\Z/6\Z$، بتجريب كل الصفوف: $\overline0^2 = \overline0$ و$\overline1^2 = \overline1$ و $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ و$\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — أي أربعة عناصر جامدة. والعنصران الغريبان يأتيان من قواسم الصفر: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ دون أن ينعدم أيّ من العاملين. وحسابات كهذه تعاير الحدس: فالوقائع المألوفة عن المعادلات تصمد في الحلقات التامة والحقول، لكن الحلقة العامة يمكن أن تسلك سلوكًا مختلفًا وهي تفعل — وانظر كذلك الحلقات البوليانية في التمرين 7.10، حيث يكون كل عنصر جامدًا.

مثال 7.21 (مبرهنة ثنائي الحدّ في حلقة غير مألوفة)

فائدتان سريعتان من هذه العمومية. ففي $\Z/p\Z$ (حيث $p$ أوليّ)، تنعدم المعاملات الثنائية الوسطى (وهي الخطوة الأولى من المبرهنة 6.23)، فتنهار المبرهنة إلى حلم المبتدئ

وهي متطابقة حقيقية هناك، مهما بدت إجرامية فوق $\R$. وفي أيّ حلقة تبديلية تحوي عنصرًا $\varepsilon$ يحقق $\varepsilon^2 = 0$، تُبتر المبرهنة: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$، إذ تحمل كل الحدود الأعلى عاملًا $\varepsilon^2 = 0$. والمعامل $n\,a^{n-1}$ للمقدار $\varepsilon$ هو مشتقة $x^n$ — وليس هذا مصادفة، وهو أول إشارة إلى أن المشتقات جبرٌ بقدر ما هي تحليل (قارن المشتقة الصورية في الفصل 8).

مثال 7.23

المجموعات $\Q$ و $\R$ و $\C$ حقول؛ و $\Z$ حلقة تامة لكنها ليست حقلًا. وفي حلقة تامة يصحّ الاختصار بالنسبة إلى $\times$: إذ $ab = ac$ و $a \neq 0$ يستلزمان $b = c$.

مثال 7.26 (كم جذرًا تربيعيًا للعدد $1$؟)

حُلَّ $x^2 = \overline 1$ في $\Z/8\Z$ وفي $\Z/7\Z$. وبتجريب الصفوف الثمانية بترديد $8$: $1^2 = 1$ و $3^2 = 9 \equiv 1$ و$5^2 = 25 \equiv 1$ و $7^2 = 49 \equiv 1$ — أي أربعة حلول $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$، وإن كانت درجة كثير الحدود $X^2 - 1$ هي $2$. وعلى النقيض، في الحقل $\Z/7\Z$ تعني $x^2 = \overline1$ أن $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$، وليس في الحقل قواسم للصفر: ومنه $x = \pm\overline1$، أي حلّان لا غير. والإخفاق بترديد $8$ قابل للتعقب: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ دون أن ينعدم أيّ من العاملين. والعبرة: أن القاعدة المألوفة «للمعادلة من الدرجة $d$ $d$ جذرًا على الأكثر» مبرهنةٌ عن الحلقات التامة (ويبرهن عليها النتيجة 8.8 فوق الحقول)؛ وهي تخفق ضمنًا في الحلقات ذات قواسم الصفر — وهذا بالضبط سبب حاجة برهان الازدواج لمبرهنة ويلسون (التمرين 6.11) إلى $p$ الأوليّ.

مثال 7.27 (الحساب في $\Z/n\Z$)

في $\Z/12\Z$: العناصر القابلة للقلب هي $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}$ (أي الصفوف الأولية مع $12$)، وكلٌّ منها مقلوب نفسه ($5^2 = 25 \equiv 1$ و $7^2 = 49 \equiv 1$ و$11^2 = 121 \equiv 1$). وللمعادلة $\overline 3\, x = \overline 6$ ثلاثة حلول ($x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$): فبلا قابلية للقلب لا اختصار. وعلى النقيض، في $\Z/11\Z$ يكون لكل معادلة $\overline a x = \overline b$ حيث $\overline a \neq \overline 0$ حلٌّ واحد بالضبط.

مثال 7.28 (بديهيات الزمرة رخصةً للحلّ)

في الزمرة $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$، حُلَّ $\overline 3\,x = \overline 5$. حسب القضية 7.5 (3) يكون الحلّ موجودًا ووحيدًا ويساوي $\overline3^{-1}\, \overline5$؛ وبما أن $\overline3 \times \overline5 = \overline{15} = \overline1$، يكون مقلوب $\overline 3$ هو $\overline 5$، ومنه

والمهم هنا أقلّ من الجواب: إنه الضمان. ففي زمرة، تكون كل معادلة كهذه قابلة للحل حلًّا وحيدًا قبل أيّ حساب، فلا يمكن لإجراء الحلّ أن يصطدم بعبارة «لا حلّ» ولا بعبارة «عدة حلول». وقارن ذلك بالمعادلة $\overline3\,x = \overline6$ في $\Z/12\Z$ أعلاه، حيث يخفق الضمان — فمعرفة أيّ بنية نحن فيها هي معرفة ما يجوز التسليم به.

مثال 7.29 (الجداءات المباشرة)

إذا كانت $G$ و $H$ زمرتين، فإن المجموعة الجدائية $G \times H$ مع القانون المركّبة مركّبةً $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ زمرةٌ: إذ تُتحقَّق البديهيات إحداثيةً إحداثية، وعنصرها المحايد $(e_G, e_H)$ ومقلوباتها $(g^{-1}, h^{-1})$. وتتركّب الرتب بالمضاعف المشترك الأصغر: فالمقدار $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ هو العنصر المحايد إذا وفقط إذا قسمت رتبة $g$ ورتبة $h$ كلتاهما $m$. ومنه ففي $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (الجمعية) لكل عنصر غير معدوم رتبةٌ $2$ — وهذه بالضبط زمرة المستطيل في المثال 7.6 بالإحداثيات — بينما في $\Z/4\Z$ عنصر رتبته $4$: وهو برهان ثانٍ، بلا حساب، على أن الزمرتين ذواتي الحجم $4$ غير متماثلتين (فالتماثل يحفظ الرتب). والجداءات أسهل سبيل إلى تصنيع زمر جديدة من قديمة، والمستوي $\R^2 = \R \times \R$ في الفصل 18 هو أهمّ حالات هذا الإنشاء.