2الحلقات والحساب

برهان. كما في حالة الزمر (المبرهنات 1.3 و1.5)، مع ملاحظة أن جميع التطبيقات المعنية تحفظ الجداءات أيضًا: فالتشاكل $\bar f$ معرَّف تعريفًا سليمًا، وتقابلي على صورته، وضربي؛ ويحفظ التقابل $J \mapsto J/I$ و $\bar J \mapsto \pi^{-1}(\bar J)$ المثاليات في الاتجاهين لأن $\pi$ تشاكل حلقات شامل. ∎

برهان. لنكتب $\bar a$ للأصناف في $A/I$. تُترجَم عبارة «$I$ أولي» حرفيًا إلى «$\bar a\bar b = 0 \Rightarrow \bar a = 0$ أو $\bar b = 0$»، وتُترجَم $A/I \neq 0$ إلى $I \neq A$: وهذا هو تعريف الحلقة التامة. أما الأعظمية، فنستعمل مبرهنة التقابل: عدم وجود مثالي واقع تمامًا بين $I$ و $A$ $\iff$ ليس في $A/I$ مثالي غير $0$ ونفسها $\iff$ تكون $A/I$ حقلًا — ومن أجل الخطوة الأخيرة: في حقلٍ ليس هناك مثاليات سوى $0$ والحقل كله (لأن مثاليًا يحتوي على $x \ne 0$ يحتوي على $x^{-1}x = 1$)؛ وبالعكس، إذا ولّد كل $x$ غير معدوم المثاليَ الواحدي، فإن $xy = 1$ من أجل $y$ ما. والحقول حلقات تامة، ومنه فالمثاليات الأعظمية أولية. ∎

برهان. لنرتّب بالاحتواء مجموعة $\mathcal E$ المؤلَّفة من المثاليات الفعلية الحاوية على $I$؛ فهي غير خالية ($I \in \mathcal E$). ولكل سلسلة $(J_\lambda)$ في $\mathcal E$ حدٌّ أعلى هو $J = \bigcup J_\lambda$: وهو مثالي (لأن أي $a, b \in J$ يقعان في $J_\lambda$ واحد بحكم الترتيب الكلي)، وفعلي (لأن $1 \notin J_\lambda$ من أجل كل $\lambda$)، وحاوٍ على $I$. وتعطي مبرهنة زورن المساعدة عنصرًا أعظميًا في $\mathcal E$، وهو مثالي أعظمي يحتوي على $I$ (إذ إن مثاليًا فعليًا يقع فوقه تمامًا سيقع في $\mathcal E$). ∎

برهان. التطبيق $f(a) = (a + I_k)_k$ تشاكل حلقات نواته $\bigcap I_k$؛ ويكفي حسب المبرهنة 2.2 أن نبرهن على شموليته. لنثبّت $k$؛ ومن أجل كل $l \neq k$ لنكتب $1 = u_l + v_l$ حيث $u_l \in I_k$ و $v_l \in I_l$ (بالتكامل). عندئذٍ

ومنه $f(e_k) = (0, \dots, 1, \dots, 0)$؛ فإذا أُعطي هدفٌ $(a_k + I_k)_k$، فإن العنصر $\sum_k a_k e_k$ يُرسَل إليه.

الجداءات في مقابل التقاطع: لدينا $I_1\cdots I_n \subseteq \bigcap I_k$ دائمًا. وبالعكس، يكفي بالتراجع أن نعالج الحالة $n = 2$ (إذ نتحقق من أن $I_1$ و $I_2\cdots I_n$ متكاملان: فبضرب $1 = u_l + v_l$ على $l \geq 2$ نجد $1 \in I_1 + I_2\cdots I_n$). ومن أجل $n = 2$: لنكتب $1 = u + v$ حيث $u \in I_1$ و $v \in I_2$؛ فمن أجل $x \in I_1 \cap I_2$ لدينا $x = xu + xv \in I_2I_1 + I_1I_2 = I_1I_2$. ∎

برهان. ليكن $p$ أوليًا وليكن $p = ab$. عندئذٍ $p \mid ab$، وليكن مثلًا $p \mid a$: أي $a = pc$، ومنه $p = pcb$، وباختصار $p$ (لأن الحلقة تامة) نجد $cb = 1$: أي $b \in A^\times$.

وفي $\Z[\iu\sqrt5]$، نستعمل المعيار $N(x + \iu y\sqrt 5) = x^2 + 5y^2$، وهو ضربي (لأنه $\abs z^2$). فإذا كان $2 = ab$ حيث $a, b$ غير قابلين للقلب، فإن $4 = N(a)N(b)$ مع $N(a), N(b) \neq 1$ (لأن عناصر المعيار $1$ هي $\pm1$، وهي العناصر القابلة للقلب)، ومنه $N(a) = 2$: وهذا مستحيل، لأن $x^2 + 5y^2 = 2$ ليس له حل صحيح. إذن $2$ غير قابل للاختزال. لكن $2 \mid 6 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5)$ بينما $2$ لا يقسم أيًّا من العاملين ($\frac12 \pm \frac{\iu\sqrt5}2 \notin \Z[\iu\sqrt5]$): فهو ليس أوليًا. ∎

برهان. ليكن $I \neq (0)$ مثاليًا وليكن $b \in I \setminus\{0\}$ بحيث يكون $\nu(b)$ أصغريًا. من أجل $a \in I$ نقسم: $a = bq + r$؛ عندئذٍ $r = a - bq \in I$، ولو كان $\nu(r) < \nu(b)$ لناقض ذلك الأصغرية، ومنه $r = 0$ و $a \in (b)$: أي $I = (b)$. ∎

برهان. إن $I = \bigcup_n I_n$ مثالي (لأن الاتحاد متزايد)، ومنه $I = (a)$؛ ويقع العنصر $a$ في $I_N$ ما، وعندئذٍ $I = (a) \subseteq I_N \subseteq I_n \subseteq I$ من أجل $n \geq N$. ∎

برهان. إن $(a) + (b)$ مثالي، ومنه فهو $(d)$؛ ويعطي $a, b \in (d)$ أن $d \mid a, b$؛ و $d = au + bv \in (a) + (b)$. وكل قاسم مشترك $c$ للعنصرين $a, b$ يقسم $au + bv = d$.

إقليدس: ليكن $p$ غير قابل للاختزال مع $p \mid ab$ و $p \nmid a$. كل قاسم مشترك أكبر $d$ للعنصرين $p$ و $a$ يقسم $p$، ومنه فإن $d$ إما قابل للقلب وإما مصاحب للعنصر $p$ (لعدم قابلية الاختزال)؛ والتصاحب مستبعَد بسبب $p \nmid a$. إذن $1 = pu + av$، ومنه $b = pub + abv$، ويقسم $p$ كلا الحدين: أي $p \mid b$. ∎

برهان. الوجود. لنفترض أن عنصرًا غير معدوم وغير قابل للقلب $a$ لا يقبل تفكيكًا إلى عناصر غير قابلة للاختزال. عندئذٍ لا يكون $a$ غير قابل للاختزال: أي $a = a_1b_1$ حيث العاملان غير قابلين للقلب؛ وأحدهما على الأقل، وليكن $a_1$، لا يقبل بدوره تفكيكًا (لأن جداء عنصرين قابلين للتفكيك قابل للتفكيك). وبالتكرار نحصل على $a = a_0, a_1, a_2, \dots$، كلٌّ منها قاسم فعلي للذي قبله ولا يقبل تفكيكًا، ومنه $(a_0) \subsetneq (a_1) \subsetneq (a_2) \subsetneq \cdots$ — والاحتواءات تامة لأن $a_n = a_{n+1}c$ مع $c$ غير قابل للقلب يعني أن $(a_n) = (a_{n+1})$ سيفرض $c \in A^\times$ (بالاختصار في حلقة تامة). وهذا يناقض المبرهنة المساعدة 2.16.

الوحدانية. ليكن $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s$ حيث جميع العوامل غير قابلة للاختزال و $r \leq s$، وذلك بالتراجع على $r$. يقسم العنصر الأولي (المبرهنة المساعدة 2.17) $p_1$ الطرفَ الأيمن، ومنه فهو يقسم أحد العوامل $q_j$؛ ولنعد الترقيم بحيث $j = 1$. وبما أن $q_1$ غير قابل للاختزال و $p_1$ غير قابل للقلب، فإن $q_1 = u p_1$ حيث $u \in A^\times$: أي إن $p_1, q_1$ متصاحبان. نختصر $p_1$: $p_2 \cdots p_r = (u q_2) q_3\cdots q_s$ ونستنتج بالتراجع (وحالة $r = 1$ تفرض $s = 1$: إذ لا يمكن لجداء عنصر قابل للقلب بعناصر غير قابلة للاختزال أن يساوي $1$). ∎

برهان. ليكن $P, Q$ بدائيين ولنفترض أن عنصرًا غير قابل للاختزال (= أوليًا، لأن الحلقة تفكيكية) $p$ يقسم جميع معاملات $PQ$. لنختزل بترديد $p$: في $(A/(p))[X]$ نجد $\bar P \bar Q = 0$. لكن $A/(p)$ حلقة تامة (لأن $(p)$ أولي)، ومنه فإن $(A/(p))[X]$ حلقة تامة (لأن المعاملات المهيمنة تتضارب)، وهذا يفرض $\bar P = 0$ أو $\bar Q = 0$: أي إن $p$ يقسم جميع معاملات $P$ أو جميع معاملات $Q$، وهذا يناقض البدائية. أما النتيجة، فلنكتب $P = c(P)P_1$ و $Q = c(Q)Q_1$: عندئذٍ $PQ = c(P)c(Q) P_1Q_1$ مع $P_1Q_1$ بدائي. ∎

برهان. (1) ($\Leftarrow$) إذا كان $P = QR$ في $A[X]$ حيث $Q, R$ غير قابلين للقلب، فلا يكون أيٌّ من العاملين ثابتًا (لأن عاملًا ثابتًا لكثير حدود بدائي يكون قابلًا للقلب)، ومنه فالتفكيك فعلي في $K[X]$. ($\Rightarrow$) لنفترض $P = QR$ حيث $Q, R \in K[X]$ من درجتين $\geq 1$. لنكتب $Q = \lambda Q_1$ و $R = \mu R_1$ حيث $Q_1, R_1 \in A[X]$ بدائيان: عندئذٍ $P = \lambda\mu\, Q_1R_1$، ويكون $Q_1R_1$ بدائيًا حسب غاوس. وبأخذ المحتويات نجد $\lambda\mu \in A^\times$ (فمحتوى الطرفين قابل للقلب؛ وبصورة رسمية، $\lambda\mu = c(P) \in A^\times$ إلى حدود العناصر القابلة للقلب، وعلى وجه الخصوص $\lambda \mu \in A$): أي إن $P = (\lambda\mu Q_1) R_1$ تفكيك فعلي في $A[X]$.

(2) الوجود: ليكن $P \neq 0$ غير قابل للقلب؛ نفكّك $P = c(P)P_1$، ثم نفكّك $c(P)$ إلى عناصر $A$ غير قابلة للاختزال، ونفكّك $P_1$ في حلقة التفكيك الوحيد $K[X]$ على الصورة $\prod Q_i$ حيث $Q_i \in K[X]$ غير قابل للاختزال؛ وبكتابة $Q_i = \lambda_i R_i$ حيث $R_i \in A[X]$ بدائي (ومنه غير قابل للاختزال على $K$، ومنه في $A[X]$ حسب (1))، يكون الجداء $\prod \lambda_i$ عنصرًا قابلًا للقلب من $A$ كما سبق، و $P_1 = u\prod R_i$. الوحدانية: نقارن الجزء الثابت والجزء كثير الحدود من التفكيك؛ فالثوابت تتضارب لتعطي $c(P)$ (غاوس)، وهي وحيدة بتفكيكية $A$؛ وأما الأجزاء كثيرة الحدود فتعطي تفكيكين في $K[X]$ لكثير الحدود نفسه، ومنه فهما متطابقان إلى حدود ثوابت من $K^\times$ (بتفكيكية $K[X]$، المبرهنة 2.18)، وكثيرا الحدود البدائيان المتصاحبان في $K[X]$ متصاحبان في $A[X]$: إذ لو كان $R = \lambda R'$ حيث $R, R'$ بدائيان و $\lambda \in K^\times$، لفرض أخذ المحتويات أن $\lambda \in A^\times$. ∎

برهان. حسب المبرهنة 2.24(1)، يعطي تفكيك فعلي على $K$ أن $P = QR$ حيث $Q, R \in A[X]$ و $\deg Q, \deg R \geq 1$ (والثوابت مستبعَدة: لأنها إما قابلة للقلب وإما تُفسد البدائية).

(1) نختزل بترديد $p$: $\bar P = \bar Q\bar R$ في $(A/(p))[X]$. وبما أن $p \nmid a_n$ وأن $\deg$ لا يمكن إلا أن تنخفض بالاختزال، فإن $\deg \bar Q = \deg Q \geq 1$ و $\deg\bar R = \deg R \geq 1$ (إذ تتضارب معاملاتهما المهيمنة لتعطي $\bar a_n \neq 0$، فلا تنخفض أيٌّ منهما): أي إن $\bar P$ يتفكّك تفكيكًا فعليًا — وهو تناقض.

(2) نختزل بترديد $p$: $\bar Q \bar R = \bar P = \bar a_n X^n$ (إذ تنعدم جميع المعاملات الأدنى). وفي الحلقة التامة $(A/(p))[X]$، تكون تفكيكات $cX^n$ (حيث $c \ne 0$) إلى ثوابت وقوى صرفة $c'X^k$: فعلًا، إذا كان $\bar Q\bar R = \bar a_nX^n$، ولو كان في $\bar Q$ معامل غير معدوم في درجة $< \deg\bar Q$، لأخذنا الحدود الدنيا غير المعدومة: فنجد $\operatorname{val}(\bar Q\bar R) = \operatorname{val}\bar Q + \operatorname{val}\bar R$ (لأن الحلقة تامة)، وهذا يجب أن يساوي $n = \deg\bar Q + \deg\bar R$، وهو يفرض $\operatorname{val} = \deg$ من أجل كليهما: ومنه فكلاهما وحيد الحد. وكما سبق، لا تنخفض الدرجات، ومنه يكون الحدّان الثابتان $Q(0)$ و $R(0)$ قابلين للقسمة على $p$ — كلاهما، لأن المختزَلين وحيدا الحد ودرجتاهما $\geq 1$. وعندئذٍ $p^2 \mid Q(0)R(0) = a_0$: وهو تناقض. ∎

برهان. (التوليد المنتهي $\Rightarrow$ شرط السلاسل): من أجل سلسلة $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$، يكون الاتحاد $I$ مثاليًا مولَّدًا بالعناصر $x_1, \dots, x_r$؛ وتقع جميع العناصر $x_i$ في $I_N$ ما، ومنه $I = I_N = I_n$ من أجل $n \geq N$. (شرط السلاسل $\Rightarrow$ العناصر الأعظمية): لو لم يكن لعائلة غير خالية $\mathcal F$ عنصر أعظمي، لاخترنا $I_1 \in \mathcal F$، ثم بالتتابع $I_{n+1} \supsetneq I_n$ في $\mathcal F$ (وهذا ممكن لأن $I_n$ ليس أعظميًا): فنحصل على سلسلة لامنتهية متزايدة تمامًا. (ويستعمل هذا بديهيةَ الاختيارات المتعلقة، وهي صورة ضعيفة من بديهية الاختيار لا نتوقف عندها.) (العناصر الأعظمية $\Rightarrow$ التوليد المنتهي): ليكن $I$ مثاليًا؛ فعائلة المثاليات المولَّدة بعدد منتهٍ والمحتواة في $I$ غير خالية (لأن $(0)$ فيها)؛ وكل عنصر أعظمي $J = (x_1, \dots, x_r)$ يجب أن يساوي $I$: وإلا لأنتج ضمُّ $x \in I \setminus J$ إلى المولِّدات عنصرًا أكبر تمامًا في العائلة. ∎

برهان. ليكن $I$ مثاليًا في $A[X]$، ولنفترض أن $I$ غير مولَّد بعدد منتهٍ من العناصر. لنبنِ متتالية: $f_1 \in I \setminus \{0\}$ من درجة أصغرية، ثم بالتتابع $f_{k+1} \in I \setminus (f_1, \dots, f_k)$ من درجة أصغرية (والمجموعة غير خالية بحكم الفرض). تكون الدرجات $d_k = \deg f_k$ غير متناقصة (بأصغرية كل اختيار: فقد كان $f_{k+1}$ متاحًا في الخطوة $k+1$… وبدقة، $f_{k+1} \notin (f_1,\dots,f_k) \supseteq (f_1, \dots, f_{k-1})$، ومنه فقد نافس $f_{k+1}$ في الخطوة $k$ فخسر أو تعادل: أي $d_{k+1} \geq d_k$). وليكن $a_k \in A$ المعامل المهيمن لكثير الحدود $f_k$. تستقر سلسلة المثاليات $(a_1) \subseteq (a_1, a_2) \subseteq \cdots$: أي $a_{n+1} \in (a_1, \dots, a_n)$ من أجل $n$ ما، وليكن $a_{n+1} = \sum_{k\leq n} u_k a_k$. لننظر في

عندئذٍ $g \in I \setminus (f_1, \dots, f_n)$ (لأن المجموع يقع في المثالي بينما $f_{n+1}$ لا يقع فيه)، ومع ذلك ينعدم معامل الدرجة $d_{n+1}$: أي $\deg g < d_{n+1}$، وهذا يناقض أصغرية $d_{n+1} = \deg f_{n+1}$.

وبالتكرار تكون $A[X_1, \dots, X_n] = (A[X_1, \dots, X_{n-1}])[X_n]$ نويثرية؛ وتكون حلقة القسمة $A/I$ نويثرية لأن مثالياتها $J/I$ ترتفع إلى مثاليات في $A$ (بمبرهنة التقابل)، حيث يُسقَط عددٌ منتهٍ من المولِّدات على مولِّدات. ∎