ما معنى المثالي؟

مثال 1.27 (قاسم مشترك أكبر لكثيري حدود، بطريقتين)

لنحسب $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ في $\Q[X]$. بخوارزمية إقليدس:

فالقاسم المشترك الأكبر هو $X - 1$، ويعطي التعويض الرجوعي علاقة بيزو

بالمثاليات: المثالي $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ رئيسي (المبرهنة 1.26)؛ وهو يحتوي $X - 1$ (حسب الصيغة المعروضة) ومحتوى في $(X - 1)\Q[X]$ (لأن المولّدين ينعدمان عند $1$، ومن ثم فهما مضاعفان لكثير الحدود $X - 1$): فالمولّد الموحَّد هو $X - 1$. والفكرة الختامية: وجهة نظر المثاليات تحدد القاسم المشترك الأكبر دون قسمة — فالجذور المشتركة تحدد موقع المثالي، وإقليدس لا يفعل سوى التصديق عليه.

مثال 1.34 (تشاكل تقييم ونواته)

لنأخذ $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ وتطبيق التقييم $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$، $P \mapsto P(A)$. بما أن $A^2 = 0$، فإن

(إذ لا يبقى من $P$ إلا الحدّان الثابت والخطي). ومنه $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: وهو مثالي رئيسي، تمامًا كما تتنبأ به المبرهنة 1.26، ومولَّد بكثير الحدود $X^2$ الموحَّد ذي الدرجة الدنيا في النواة — أي كثير الحدود الأدنى للمصفوفة $A$، بطل الفصل 3. والصورة هي الجبر التبادلي ذو البعد اثنين $\{aI + bA\}$: فتشاكلات التقييم تقلّص $\R[X]$ غير المنتهي البعد إلى جبور صغيرة قابلة للحساب.

مثال 2.20 (حلقة بلا تفكيك وحيد)

ليس أيٌّ من الاستلزامين إقليدية $\Rightarrow$ رئيسية $\Rightarrow$ تفكيكية تكافؤًا، ويستحق إخفاق الأخير أن نراه مرة واحدة بكامل تفاصيله. في

يكون المعيار ضربيًا ويتحقق $N(z) = 1$ إذا وفقط إذا كان $z \in A^\times = \{\pm1\}$. لننظر في

جميع العوامل الأربعة غير قابلة للاختزال: فمعاييرها هي $4, 9, 6, 6$، ولو وُجد تفكيك فعلي $z = z_1z_2$ لفُرض $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — لكن $a^2 + 5b^2$ لا يساوي $2$ ولا $3$ أبدًا (فحالة $b = 0$ تترك العددين غير المربّعين $2, 3$؛ وحالة $\abs b \geq 1$ تعطي $\geq 5$). ومع ذلك فإن $2$ ليس مصاحبًا لأيٍّ من $1 \pm \iu\sqrt5$ (لأن المعيارين $4 \neq 6$): أي إن لدينا تفكيكين مختلفين فعلًا للعدد $6$ إلى عناصر غير قابلة للاختزال. وبصيغة مكافئة، غير القابل للاختزال $\neq$ الأولي هنا: إذ يقسم $2$ الجداءَ $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ ولا يقسم أيًّا من العاملين (بالمعايير مرة أخرى). أما الإصلاح المثالي لهذا الإخفاق — أي تفكيك المثاليات بدل تفكيك العناصر — فهو ميلاد نظرية الأعداد الجبرية؛ وفي مستوانا، يُظهر هذا المثال مدى خصوصية الحلقات الإقليدية $\Z$ و $K[X]$ و $\Z[\iu]$ الواردة في هذا الفصل.