ما معنى كثير الحدود، الدرجة؟ — الرياضيات

تعريف 8.1 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 8 — كثيرات الحدود

كثير الحدود ذو المعاملات في $K$ مجموعٌ صوريّ

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

حيث $a_k \in K$ معدومة كلها ابتداءً من دليل ما. ومع الجمع الطبيعي والجداء

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

تكون المجموعة $K[X]$ حلقةً تبديلية. ودرجة $\deg P$ لكثير الحدود $P \neq 0$ هي أكبر $n$ يحقق $a_n \neq 0$ ؛ ويكون $a_n$ المعامل المهيمن (ويكون $P$ واحديًا عندما $a_n = 1$ )، ونصطلح على $\deg 0 = -\infty$ . ويعرّف كل كثير حدود دالةً $x \mapsto P(x)$ على $K$ بالتعويض.

أمثلة

مثال 8.4

اقسم $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ على $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(والحساب: اطرح $X^2 B$ ، ثم $X B$ ، ثم $-B$ ؛ فالباقي $-3X + 2$ درجته $1 < 2$ .)

مثال 8.9 (حيلة كثير الحدود المساعد)

ليكن $P$ كثير الحدود من الدرجة $\leq n$ الذي يحقق

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

وهو موجود ووحيد بمقايسة لاغرانج أدناه. فما $P(n+1)$ ؟ أزل المقامات: فكثير الحدود $Q = (X+1)P - X$ درجته $\leq n + 1$ وينعدم عند النقاط $n + 1$ التي هي $0, 1, \dots, n$ ، ومنه حسب المبرهنة 8.7

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

من أجل ثابت $c$ ما. واحسب حيث يكون $Q$ معلومًا باستقلال: عند $X = -1$ ، $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ ، بينما يساوي الجداء $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ؛ ومنه $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . والآن احسب عند $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

ومنه $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : أي يساوي $1$ من أجل $n$ الفرديّ، و $\frac{n}{n+2}$ من أجل $n$ الزوجيّ — فكثير الحدود المقايس لا يواصل النمط $\frac{n+1}{n+2}$ . والحيلة الجديرة بالتذكر: رمّز المعطيات في صورة جذور لكثير حدود مساعد، وعيّن الثابت المجهول عند نقطة خارج المعطيات، ثم اجنِ الثمار.

مثال 8.13 (كشف الجذور المضاعفة بقاسم مشترك أكبر)

عندما لا يُعرف أيّ جذر، تظلّ القضية 8.11 تعطي كاشفًا إجماليًا للجذور المضاعفة: فيكون $a$ جذرًا مضاعفًا للمقدار $P$ إذا وفقط إذا كان جذرًا مشتركًا للمقدار $P$ و $P'$ ، ومنه فلكثير الحدود $P$ جذر مضاعف (في $\C$ ) إذا وفقط إذا كان $\gcd(P, P') \neq 1$ — وهو قابل للحساب بخوارزمية إقليدس دون حلّ أيّ شيء. مثال: $P = X^3 - 3X + 2$ و $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . وبتجريب جذرَي $P'$ اللذين هما $\pm1$ داخل $P$ : $P(1) = 0$ لكن $P(-1) = 4$ ، ومنه

\gcd(P, P') = X - 1 :

فالجذر $1$ مضاعف؛ وبالقسمة مرتين، $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . بل إن القاسم المشترك الأكبر يفيد بمجموعة الجذور المضاعفة كاملةً، كلٌّ منها بتضاعف منقوص بواحد — وهي الواقعة التي يستثمرها كل نظام جبر حاسوبي «للتعميل الخالي من المربعات» قبل أيّ مطاردة للجذور، وهي التوأم الكثيرحدودي لحجج التمرين 8.9 في نفي الجذور المضاعفة.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة