O que é família livre? — Matemática

Definição 18.14 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 18 — Espaços Vetoriais

Uma família $(x_1, \dots, x_p)$ de vetores de $E$ é:

geradora (de $E$ ) quando $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
livre (os seus vetores linearmente independentes) quando

$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$

caso contrário, linearmente dependente;
uma base quando é livre e geradora.

Exemplos

Exemplo 18.16

A base canônica de $K^n$ : $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $1$ na posição $i$ ). Os monômios $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : uma base de $K_n[X]$ (liberdade: uma combinação nula é o polinômio nulo, logo todos os coeficientes se anulam, Definição 8.1). Em $\C$ sobre $\R$ : a base $(1, \iu)$ .

Exemplo 18.18 (Testar uma candidata a base, do início ao fim)

Será $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ uma base de $\R_2[X]$ ? Escreva $u_1, u_2, u_3$ para os três polinômios. Liberdade: uma combinação nula $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ dá, coeficiente a coeficiente,

a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;

subtraindo as duas primeiras, $b = c$ , e então a terceira dá $2b = 0$ : $a = b = c = 0$ , livre. Geradora: em vez de resolver três sistemas, note a combinação simétrica

u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,

logo $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; então

X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr), \qquad X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).

Os monômios estão no espaço gerado, logo tudo está: $\mathcal{F}$ é uma base. Como bônus, juntar as três fórmulas exibidas dá as coordenadas de qualquer $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ :

P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1 + \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2 + \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .

(Verificação de coerência com $P = X$ : coordenadas $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$ , como encontrado acima.) Duas lições: a simetria numa família costuma esconder uma combinação atalho; e assim que a dimensão estiver disponível (Capítulo 19), toda a metade “geradora” deste trabalho virá sem custo algum — três vetores livres de um espaço de dimensão $3$ formam sempre uma base.

Exemplo 18.20 (O princípio da escada)

Sejam $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ com $\deg P_k = k$ para cada $k$ (uma “escada” de graus). Então $(P_0, \dots, P_n)$ é uma base de $K_n[X]$ . A liberdade é a Proposição 18.19 (1). Para a propriedade geradora, argumente por descida finita sobre o grau: seja $Q \in K_n[X]$ , $Q \neq 0$ , de grau $d$ , com coeficiente dominante $a$ , e seja $b \neq 0$ o coeficiente dominante de $P_d$ . Então $Q - \frac ab P_d$ tem grau $< d$ (os termos de topo cancelam-se); substituindo $Q$ por essa diferença e iterando, após no máximo $n + 1$ passos chega-se ao polinômio nulo, e desfazer as subtrações exprime $Q$ como combinação dos $P_k$ . Duas escadas já encontradas: as potências transladadas $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (Exercício 18.4), e os produtos de Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ , postos a trabalhar no problema de fim de semana.

Ler no capítulo →