¿Qué es familia libre? — Matemáticas

Definición 18.14 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 18 — Espacios vectoriales

Una familia $(x_1, \dots, x_p)$ de vectores de $E$ es:

generadora (de $E$ ) cuando $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
libre (sus vectores son linealmente independientes) cuando

$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$

y en caso contrario, ligada;
una base cuando es libre y generadora.

Ejemplos

Ejemplo 18.16

La base canónica de $K^n$ : $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $1$ en el lugar $i$ ). Los monomios $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : una base de $K_n[X]$ (es libre: una combinación nula es el polinomio nulo, luego todos los coeficientes se anulan, Definición 8.1). En $\C$ sobre $\R$ : la base $(1, \iu)$ .

Ejemplo 18.18 (Comprobar una base candidata, de principio a fin)

¿Es $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ una base de $\R_2[X]$ ? Escríbanse $u_1, u_2, u_3$ para los tres polinomios. Es libre: una combinación nula $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ da, coeficiente a coeficiente,

a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;

restando las dos primeras, $b = c$ , y la tercera da $2b = 0$ : $a = b = c = 0$ , libre. Generadora: en lugar de resolver tres sistemas, obsérvese la combinación simétrica

u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,

luego $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; y entonces

X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr), \qquad X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).

Los monomios están en el subespacio generado, luego todo lo está: $\mathcal{F}$ es una base. Como propina, juntando las tres fórmulas se obtienen las coordenadas de cualquier $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ :

P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1 + \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2 + \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .

(Comprobación con $P = X$ : coordenadas $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$ , como se halló antes.) Dos lecciones: la simetría de una familia suele esconder una combinación atajo; y en cuanto se disponga de la dimensión (Capítulo 19), toda la mitad generadora de este trabajo saldrá gratis — tres vectores libres de un espacio de dimensión $3$ siempre forman una base.

Ejemplo 18.20 (El principio de la escalera)

Sean $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ con $\deg P_k = k$ para cada $k$ (una «escalera» de grados). Entonces $(P_0, \dots, P_n)$ es una base de $K_n[X]$ . Que es libre lo da la Proposición 18.19 (1). Para la propiedad generadora, razónese por descenso finito sobre el grado: sea $Q \in K_n[X]$ , $Q \neq 0$ , de grado $d$ y con coeficiente director $a$ , y sea $b \neq 0$ el coeficiente director de $P_d$ . Entonces $Q - \frac ab P_d$ tiene grado $< d$ (los términos de cabeza se cancelan); sustituyendo $Q$ por esa diferencia e iterando, tras a lo sumo $n + 1$ pasos se llega al polinomio nulo, y deshaciendo las restas se expresa $Q$ como combinación de los $P_k$ . Dos escaleras ya encontradas: las potencias desplazadas $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (Ejercicio 18.4) y los productos de Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ , puestos a trabajar en el problema del fin de semana.

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